התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:

$${\displaystyle n_{FD}(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}}$$ כאשר:

• ${\displaystyle \ n_{FD}}$ הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת חלקיק במצב).
• ${\displaystyle \ \epsilon }$ היא האנרגיה של מצב זה.
• ${\displaystyle \ \mu }$ הוא הפוטנציאל הכימי.
• ${\displaystyle \ T}$ היא הטמפרטורה.
• ${\displaystyle \ k_{B}}$ הוא קבוע בולצמן.

בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים ${\displaystyle \ g(\epsilon )}$, ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי: $${\displaystyle \ U=\int \epsilon g(\epsilon )n_{FD}(\epsilon )d\epsilon }$$

את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם ${\displaystyle \ N_{i}}$ חלקיקים ואנרגיה כוללת ${\displaystyle \ E_{i}}$ נתונה על ידי ${\displaystyle P_{i}={\frac {1}{\mathcal {Z}}}e^{-{\frac {(E_{i}-\mu N_{i})}{k_{B}T}}}}$, כאשר ${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{i}e^{-{\frac {(E_{i}-\mu N_{i})}{k_{B}T}}}}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת ${\displaystyle \epsilon }$. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים ${\displaystyle \ E_{i}=n\epsilon }$ כאשר ${\displaystyle \ n=N_{i}}$ הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק ${\displaystyle \ n=0,1}$. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה ${\displaystyle {\mathcal {Z}}=1+e^{-{\frac {(\epsilon -\mu )}{k_{B}T}}}}$. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב${\displaystyle \langle n\rangle =\sum _{n}nP(n)}$, או על ידי ${\displaystyle \langle n\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}}$ כאשר ${\displaystyle \Omega =-k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}}$.

• מתקיים ${\displaystyle \ n_{FD}(\epsilon )\leq 1}$ . דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.

• בגבול של טמפרטורה נמוכה ( ${\displaystyle \ T\to 0}$) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה ${\displaystyle \ \epsilon <\mu =\epsilon _{F}}$ מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה ${\displaystyle \ \epsilon >\mu =\epsilon _{F}}$ אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת ${\displaystyle \ \epsilon _{F}}$ ונקראת אנרגיית פרמי.

מדיה וקבצים בנושא התפלגות פרמי-דיראק בוויקישיתוף

• התפלגות פרמי-דיראק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • מקסוול-בולצמן • בוז-איינשטיין • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת