התפלגות נורמלית מוכללת

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
תומך	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ כאשר ${\displaystyle \Gamma }$ מייצג את פונקציית גמא
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta \left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)}$ כאשר ${\displaystyle \beta }$ הוא פרמטר הצורה, ${\displaystyle \alpha }$ הוא פרמטר הסקאלה ו${\displaystyle \gamma }$ מייצג את פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה.
תוחלת	${\displaystyle \mu \,}$
חציון	${\displaystyle \mu \,}$
ערך שכיח	${\displaystyle \mu \,}$
שונות	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}}$
אנטרופיה	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}}$
צידוד	0
גבנוניות	${\displaystyle {\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3}$

ההתפלגות הנורמלית המוכללת (GND; מכונה גם התפלגות גאוסיינית המוכללת – GGD) כוללת שתי משפחות של התפלגויות הסתברות רציפות על הישר הממשי. בשתי המשפחות מתווסף פרמטר צורה להתפלגות הנורמלית. באחת מהן מתווסף פרמטר סקלה, ופונקציית הצפיפות סימטרית. באחרת, מתווסף פרמטר צידוד, ופונקציית הצפיפות של התפלגויות במשפחה זו אינו בהכרח וסימטרית.

בערך זה נתייחס להתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית

ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית, המכונה גם התפלגות חזקה מעריכית, היא משפחה פרמטרית של התפלגויות סימטריות. המשפחה כוללת את ההתפלגויות הנורמלית התפלגות לפלס, וכמקרה גבולי את כל ההתפלגויות האחידות הרציפות באינטרוולים חסומים על הישר הממשי.

משפחה זו כוללת את ההתפלגות הנורמלית כאשר ${\displaystyle \textstyle \beta =2}$ (עם תוחלת ${\displaystyle \textstyle \mu }$ ושונות ${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$) ואת התפלגות לפלס כאשר ${\displaystyle \textstyle \beta =1}$. כאשר ${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$, הצפיפות מתכנסת נקודתית לצפיפות אחידה בקטע ${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$ .

משפחה זו מאפשרת זנבות עבים מהזה של ההתפלגות הנורמלית (כאשר ${\displaystyle \beta <2}$ ) או דקים יותר (כאשר ${\displaystyle \beta >2}$ ). זוהי דרך שימושית לאפיין רצף של צפיפויות פלטיקורטיות סימטריות, שלהן שייכת מההתפלגות הנורמלית (${\displaystyle \textstyle \beta =2}$) לצפיפות אחידה (${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$), ורצף של צפיפויות סימטריות, לפטוקורטיות הנפרשות מהתפלגות לפלס ( ${\displaystyle \textstyle \beta =1}$ ) לצפיפות הרגילה ( ${\displaystyle \textstyle \beta =2}$ ). פרמטר הצורה ${\displaystyle \beta }$ שולט גם על ערך השכיח בנוסף לזנבות.

חקרו גישות של אומדן פרמטרים באמצעות נראות מקסימלית ושיטת המומנטים.^[1] אין נוסחה סגורה לאומדנים ויש לחשב אותם נומרית. הוצעו גם אומדנים שאינם דורשים חישוב נומרי.^[2]

לפונקציית הנראות של ההתפלגות הנורמלית המוכללת אינסוף נגזרות רציפות (כלומר היא שייכת למחלקה${\displaystyle C^{\infty }}$ של פונקציות חלקות) רק אם ${\displaystyle \textstyle \beta }$ הוא מספר חיובי. אחרת, לפונקציה יש ${\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }$ נגזרות רציפות. כתוצאה מכך, התוצאות הסטנדרטיות לעקביות ולנורמליות אסימפטוטית של אומדני נראות מקסימלית של ${\displaystyle \beta }$ חל רק עבור ${\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}$.

ניתן להתאים את ההתפלגות הנורמלית המוכללת באמצעות שיטת נראות מקסימלית מקורבת.^[3][4] ${\displaystyle \mu }$ מאותחל למומנט הראשון של המדגם ${\displaystyle m_{1}}$, ו-${\displaystyle \textstyle \beta }$ מוערך על ידי שימוש בתהליך איטרטיבי של ניוטון-רפסון, gם אתחול ${\displaystyle \textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}}$,

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},}$

כאשר

${\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,}$

הוא מומנט הראשון של הערכים המוחלטים ו ${\displaystyle m_{2}}$ הוא המומנט השני. האיטרציה היא

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},}$

כאשר

${\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta })}{\beta }},}$

ו

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |\right)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}}$

וכאשר ${\displaystyle \psi }$ ו ${\displaystyle \psi '}$ הם פונקציית הדיגמה ופונקציית הטריגמא.

בהינתן ערך של ${\displaystyle \textstyle \beta }$, אפשר לאמוד את ${\displaystyle \mu }$ על ידי מציאת המינימום של

${\displaystyle \min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}$

לבסוֹף אומדים את ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ על ידי

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.}$

עֲבוּר ${\displaystyle \beta \leq 1}$, חציון הוא אומדן מתאים יותר של ${\displaystyle \mu }$ . כאשר יש אומדן ל ${\displaystyle \mu }$, ניתן לאמוד את ${\displaystyle \beta }$ ו ${\displaystyle \alpha }$ כמתואר לעיל.^[5]

ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית שימושית במודלים שבהם יש חשיבות לריכוז הערכים סביב הממוצע והתנהגות הזנב.^[6][7] ניתן להשתמש במשפחות התפלגויות אחרות אם ההתמקדות היא בסטיות אחרות מהנורמליות. אם חשוב לבדוק את הסימטריה של ההתפלגות, ניתן להשתמש במשפחה הנורמלית המוכללת הלא סימטרית. אם התנהגות הזנב היא העניין העיקרי, ניתן להשתמש במשפחת התפלגות t, שמתכנס להתפלגות הנורמלית כאשר מספר דרגות החופש שואף לאינסוף. להתפלגות t, שלא כמו התפלגות נורמלית מוכללת, זנב עבה יותר מבלי לייצר חוד בראשית הצירים.

יהי ${\displaystyle X_{\beta }}$ משתנה מקרים בעל התפלגות נורמלית מוכללת עם תוחלת אפס, פרמטר צורה ${\displaystyle \beta }$ ופרמטר קנה מידה ${\displaystyle \alpha }$. המומנטים של ${\displaystyle X_{\beta }}$ קיימים וסופיים עבור כל k גדול מ-1. עבור כל מספר שלם אי-שלילי, המומנטים המרכזיים הם

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}}$