פונקציית גמא הלא שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים:

ישנם שני סוגים של פונקציית גמא הלא שלמה: עליונה ותחתונה.

פונקציית גמא הלא שלמה העליונה מוגדרת:

${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!}$

פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה מוגדרת:

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!}$

מההגדרה אפשר להבין כי:

${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s)\!}$

על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה:

${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)\Gamma (s-1,x)+x^{s-1}e^{-x}\!}$

${\displaystyle \gamma (s,x)=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}e^{-x}\!}$

• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$ כאשר s שלם חיובי

• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s)\!}$

• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}\!}$

• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}\!}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{s-1}}{e^{x}}}}$

הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית "G" של ("Meijer G") מאייר^[1]:

${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)}$

${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}$ כאשר ${\displaystyle |z|<1}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$ וגם ${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow {\frac {1}{s}}}$ כאשר ${\displaystyle x\rightarrow 0}$

• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow -{\frac {1}{s}}}$ כאשר ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ וגם ${\displaystyle \Re (s)<0\,}$

• ${\displaystyle \gamma (s,x)\rightarrow \Gamma (s)}$ כאשר ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\rightarrow 1}$ כאשר ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

מדיה וקבצים בנושא פונקציית גמא הלא שלמה בוויקישיתוף

• פונקציית גמא הלא שלמה, באתר MathWorld (באנגלית)