בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:^[1][2]

${\displaystyle .\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על ${\displaystyle (0,\infty )}$,^[3] והיא שקולה אסימפטוטית ל-^[4]

${\displaystyle ,\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}}$

עבור (${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$) בגזרה ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$ לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ-${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$ או Ϝ.^[5]

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

${\displaystyle .\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

ניקח לוג של שני האגפים:

${\displaystyle ,\ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z))}$

גזירה ביחס ל- ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n

${\displaystyle ,H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

מתקיים,

${\displaystyle ,\psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

כאשר ${\displaystyle H_{0}=0}$ ו-${\displaystyle \gamma }$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

${\displaystyle .\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}$

אם החלק הממשי של ${\displaystyle z}$ הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:^[6]

${\displaystyle .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}$

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני ${\displaystyle \gamma }$ נותן:

${\displaystyle .\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt}$

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר ${\displaystyle H_{z}}$, כך שניתן לכתוב:

${\displaystyle .\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}}$

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

${\displaystyle .\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}}$

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:^[6]

${\displaystyle .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}}$

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של ${\displaystyle \psi }$.^[7]

${\displaystyle .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt}$

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור ${\displaystyle \psi }$:^[8]

${\displaystyle .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}}$

מתוך ההגדרה של ${\displaystyle \psi }$ והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

${\displaystyle ,\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt}$

כאשר ${\displaystyle \Re z>0}$ .^[9]

הפונקציה ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$ היא פונקציה שלמה,^[10] והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

${\displaystyle .{\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}}$

כאשר ${\displaystyle x_{k}}$ הוא האפס ה-${\displaystyle k}$ של ${\displaystyle \psi }$ (ראה להלן) ו- ${\displaystyle \gamma }$ הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: ${\displaystyle .{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):^[1]

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }$

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

${\displaystyle ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}}$

כאשר ${\displaystyle p(n)}$ ו-${\displaystyle q(n)}$ הם פולינומים של ${\displaystyle n}$.

פירוק לשברים חלקיים של ${\displaystyle u_{n}}$ בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של ${\displaystyle q(n)}$ הם שורשים פשוטים,

${\displaystyle .u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}}$

כדי שהטור יתכנס,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0}$,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

${\displaystyle ,\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0}$

ונקבל,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)}$${\displaystyle =-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})}$

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

${\displaystyle ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k})}$

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה ${\displaystyle z=1}$:

${\displaystyle ,\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k}}$

שמתכנס עבור ${\displaystyle |z|<1}$. כאשר, ${\displaystyle \zeta (n)}$ היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:^[11][12]

${\displaystyle ,\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}$

כאשר ${\displaystyle {\binom {s}{k}}}$ הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

${\displaystyle ,\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1}$

כאשר ${\displaystyle m=2,3,4,...}$.^[12]

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$.

• פונקציית פוליגמא
• פיתוחי צ'בישב

• Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259.
• "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
• פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית)