התמרת לפלס

התמרת לפלס היא כלי מתמטי שהשימוש בו מקל מאוד על ניתוח ההתנהגות של מערכות ליניאריות ללא תלות בזמן, כגון מעגלים חשמליים ומערכות מכניות ואופטיות. ההתמרה קרויה על-שמו של פייר-סימון לפלס.

הגדרה

את התהליך בו מבצעים התמרת לפלס לפונקציה מקובל לסמן . אם היא פונקציה ממשית, נהוג לסמן את ההתמרה שלה ב-, והיא מוגדרת לפי האינטגרל המסוים .

התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית: פונקציה המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג. ההתמרה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, ההעתקה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך). ייחודה הוא בכך שהיא מקיימת את הזהות , וכך היא הופכת נגזרת של פונקציה לכפל של הפונקציה במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות ליניאריות הקבועות בזמן.

ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של משוואות דיפרנציאליות. בהנדסת חשמל מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר, אף על פי שלמישור לפלס אין כלל משמעות של תדר. ההתמרה שמעבירה ממישור הזמן למישור התדר היא התמרת פורייה (למעשה, אם s הוא מדומה טהור, התמרת לפלס זהה להתמרת פורייה). מישור לפלס הוא מישור מדומה ללא משמעות פיזיקלית פשוטה והוא משמש לפתרון משוואות דיפרנציאליות.

היסטוריה

התמרות אינטגרליות הוצגו לראשונה על ידי לאונרד אוילר שפתר בעזרת ההתמרות משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר שני. לפלס עצמו מזכיר בכתביו את עבודתו של אוילר על התמרות אינטגרליות. היה זה שפיצר שהצמיד את שמו של לפלס לביטוי שאוילר השתמש בו.

בסוף המאה ה-19 הרחיבו המתמטיקאים פואנקרה, פינקרלה (Pincherle), אבל ופיקאר את התמרת לפלס גם למישור המרוכב ולשני משתנים. במאה ה-20 שכללו החוקרים הארי בייטמן (Bateman), ברנשטיין, דוטש (Doetsch), הביסייד וברומיץ' (Bromwich) את התמרת לפלס.

הרחבה למספרים מרוכבים

כאמור, התמרת לפלס פועלת גם במישור המרוכב, ובמקום הדרישה מגיעה הדרישה . נראה זאת בדוגמה הבאה:

השוויון האחרון מתקיים מכיוון ש:

באופן דומה ניתן להראות כי: . לכן, על פי הליניאריות של ההתמרה נקבל כי:

, ובדומה: .

ניתן לראות שאם s הוא מדומה (כלומר, ) התמרת לפלס הופכת להתמרת פורייה.

סדר מעריכי של פונקציה

נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס. על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה – הסדר המעריכי שלה:

לפונקציה יש סדר מעריכי בגובה אם קיימים קבועים כך שלכל מתקיים .

לדוגמה, הסדר המעריכי של הוא ( יכול להיות שלילי), הסדר המעריכי של הוא 0 (כי נוכל לבחור מספיק גדול), ולפולינומים יש סדר מעריכי כלשהו גדול מ-0 (שוב, כי נוכל לבחור מספיק גדול, ובאינסוף אקספוננט "מנצח" פולינום). ל־ לעומת זאת, לא קיים סדר מעריכי כי לא ניתן לחסום אותה עם אקספוננט.

ואז אם רציפה למקוטעין על חצי-הישר הימני, ומסדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס לכל (במקרה הממשי – ). כלומר, האקספוננט צריך "למשוך למטה" חזק יותר. בעוד שלכל פונקציה המקיימת את התנאים האמורים קיימת התמרת לפלס, קיימות פונקציות שאינן מקיימות תנאים אלו, ובכל זאת קיימת להן התמרה. לדוגמה, לפונקציה לא קיים סדר מעריכי אך קיימת לה התמרת לפלס לכל .

תכונות

בהינתן שתי פונקציות, ו־, וההתמרות לפלס שלהן הן ו- בהתאמה,

מתקיימות התכונות הבאות:

  • כללי:
    • ניתן להראות שהתמרת לפלס של כל פונקציה רציפה למקוטעין ובעלת סדר מעריכי, מתכנסת בהחלט ובמידה שווה.
    • אם רציפה למקוטעין על חצי הישר הימני ובעלת סדר מעריכי אז . רואים בטבלת ההתמרות כי מעלת המכנה תמיד גבוהה ממעלת המונה.
  • ליניאריות:
  • גזירות:
  • איפנון:
  • הזזה:
כאן היא פונקציית מדרגה.

התמרת לפלס של טורי חזקות

נגדיר טור חזקות: . על ידי שימוש בתכונת הליניאריות ובטבלת ההתמרות, נקבל: . לטורי חזקות אינסופיים, לעומת זאת, לא תמיד קיימת התמרת לפלס. התמרת לפלס עבור טור החזקות קיימת אם הטור מתכנס לכל , וקיים טבעי כך שלכל ולכל מתקיים . במקרה זה נקבל: .

משפט הערך ההתחלתי

ערך מורחב – משפט הערך ההתחלתי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות אז מתקיים:

משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך ההתחלתי של הפונקציה במישור הזמן, משום שהוא אינו מחייב את חישוב של התמרת לפלס ההפוכה של .

משפט הערך הסופי

ערך מורחב – משפט הערך הסופי

אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות וכל הקטבים של נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:

משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.

טבלת התמרות לפלס שימושיות

מס' פונקציה מרחב הזמן
מרחב התדר
תחום התכנסות
למערכת סיבתית
1 פונקציית הלם , , לכל
2 פונקציית מדרגה
3 דעיכה מעריכית
3 דעיכה מעריכית מוכפלת ב־t
4 קירוב מעריכי
5 סינוס
6 קוסינוס
7 סינוס היפרבולי
8 קוסינוס היפרבולי
9 גל סינוס בדעיכה
מעריכית
10 גל קוסינוס בדעיכה
מעריכית
11 חזקת n
12 השורש ה-n-י
13 לוגריתם טבעי
14 פונקציית בסל
מהסוג הראשון,
מסדר n

15 פונקציית בסל מתואמת
מהסוג הראשון,
מסדר n
16 פונקציית בסל
מהסוג השני,
מסדר 0
17 פונקציית בסל מתואמת
מהסוג השני,
מסדר 0
18 פונקציית השגיאה
הערות:
  • , מספר ממשי, בדרך-כלל מייצג זמן,
    אף על פי שיכול לייצג כל מימד בלתי-תלוי.
  • הוא מספר מרוכב המסמל את התדירות הזוויתית.
  • , ו־ הם מספרים ממשיים.
  • הוא מספר שלם.
  • מערכת סיבתית היא מערכת שבה התגובה להלם היא אפס לכל זמן ‏ (כלומר ).

שימושים

  • בפתרון משוואות דיפרנציאליות בעזרת התמרת לפלס, מנצלים את הזהות , שמקשרת בין התמרת לפלס של הנגזרת לבין התמרת לפלס של הפונקציה. בהינתן משוואה דיפרנציאלית רגילה הכוללת נגזרות מסדרים שונים, ניתן לבצע התמרת לפלס על המשוואה, לבודד את הביטוי להתמרת לפלס של הפונקציה הנעלמת – ואז לבצע התמרת לפלס הפוכה ולמצוא את פתרון המשוואה.
  • בתורת הבקרה, כאשר מאפיינים מערכת, מופיעים לעיתים קרובות ביטויים המערבים נגזרות. מאחר שהתמרת לפלס הופכת גזירה למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, הטיפול בביטויים כאלה הוא נוח, וכאשר מאפייני המערכת אינם תלויים בזמן, התמרת לפלס של משוואות התנועה נותנת פולינומים, אשר מאפשרים אנליזה קלה של המצב (ע"ע: פונקציית תמסורת).

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications, Springer-Verlag, 1999, New York.

קישורים חיצוניים

Read other articles:

NewsweekKategoriMajalah beritaFrekuensiMingguanSirkulasi1,527,156[1]Terbitan pertama17 Februari 1933Perusahaan Independent (1933–61, 2018–present) The Washington Post Company (1961–2010) The Newsweek Daily Beast Company / IAC (2010–13) IBT Media (2013–18) NegaraAmerika SerikatBerpusat diNew York, New YorkBahasaBahasa InggrisSitus webwww.newsweek.comISSN0028-9604 Newsweek adalah majalah berita mingguan yang diterbitkan di New York City dan diedarkan di seluruh dunia. Majalah ...

 

 

Series of civilian protests against the Sri Lankan government in 2022 2022 Sri Lankan protestsPart of the Sri Lankan economic crisisSri Lankans protesting in front of the Presidential Secretariat in Colombo on 13 AprilDate15 March 2022[1] – 14 November 2022[2] (7 months, 4 weeks and 2 days)LocationSri LankaCaused by Economic mismanagement by the government resulting in the 2019–present Sri Lankan economic crisis Shortages of fuel and essential items and powe...

 

 

Kelompok magma toleitik, yang diambil dari nama daerah di German yakni Tholey, adalah salah satu dari dua kelompok magma utama dari batuan beku. Kelompok magma satu lagi yang adalah kalk-alkali. Kelompok magma adalah kelompok komposisi yang menggambarkan evolusi magma mafik, yang kaya akan magnesium dan besi serta memproduksi basal dan gabro. International Union of Geological Sciences merekomendasikan bahwa istilah basal toleitik digunakan dalam preferensi untuk istilah Toelit (Le Matrie dkk,...

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) كأس الكؤوس الإفريقية 1978 تفاصيل الموسم كأس الكؤوس الإفريقية  النسخة 4  المنظم الاتحاد الإفريقي لكرة �...

 

 

Untuk kartu tambahan yang memiliki unit pemroses grafis, lihat Kartu video. Komponen GPU Unit pemroses grafis atau unit pengolahan grafis (Inggris: graphics processing unitcode: en is deprecated /GPU) adalah sirkuit elektronik khusus yang dirancang untuk memanipulasi dan mengubah memori dengan cepat guna mempercepat pembuatan gambar dalam frame buffer yang ditujukan untuk keluaran ke tampilan perangkat. GPU digunakan dalam sistem tertanam, ponsel, komputer pribadi, workstation, dan konsol per...

 

 

Ini adalah nama Tionghoa; marganya adalah Chan (nama pernikahan) dan Fang (nama maiden). Yang TerhormatAnson Maria Elizabeth ChanGBM, GCMG, CBE, JP陳方安生Anson Chan pada 2005 Ketua Sekretaris AdministrasiMasa jabatan1 Juli 1997 – 30 April 2001 PenggantiDonald TsangKetua Sekretaris Hong KongMasa jabatan29 November 1993 – 30 Juni 1997 PendahuluSir David Robert FordPenggantiDiri sendiri (sebagai Ketua Sekretaris Administrasi)Anggota Dewan Legislatif Hong KongMasa jabat...

Penghargaan dan Nominasi Arctic Monkeys Arctic Monkeys pada tahun 2006 Penghargaan dan Nominasi Penghargaan Menang Nominasi Brit Awards 7 9 Grammy Awards 0 3 Ivor Novello Awards 1 2 Meteor Music Awards 1 3 MTV Europe Music Awards 0 5 MTV Video Music Awards 0 2 Muso Awards 1 1 NME Awards 20 37 PLUG Awards 1 2 Q Awards 5 23 Mercury Prize 1 3 MOJO Awards 1 1 iHeartRadio Music Awards 0 1 Jumlah Menang 38 Nominasi 92 Arctic Monkeys adalah band indie rock Inggris[1] dari Sheffield, Inggris...

 

 

Fold in the surface of the brain For other uses, see Sulcus (disambiguation). SulcusSulcus and gyrusIdentifiersNeuroNames1208TA98A14.1.09.006TA25433FMA75759Anatomical terminology[edit on Wikidata] Gray's Fig. 726 – Lateral surface of left cerebral hemisphere, viewed from the side Gray's Fig. 727 – Medial surface of left cerebral hemisphere Rotating image of human brain, illustrating the lateral sulcus Illustration depicting general brain structures including sulci In neuroanatomy, a s...

 

 

Bahasa Ibrani עִבְֿרִיתּ Ivrit Seberkas daripada Gulungan Kitab Yesaya yang dibuat tertanggal abad ke-2 sebelum Masehi dan merupakan bagian dari Alkitab Ibrani Yesaya dan salah satu yang terawat dengan baik dari sekian Gulungan Laut Mati. PengucapanModern: [ivˈʁit][ib 1]Tiberia: [ʕivˈriθ] Alkitab: [ʕibˈrit]Dituturkan diIsrael, Palestina, dan populasi diaspora Yahudi diseluruh dunia.WilayahTanah Israel  Israel  Palestina (Tepi barat) EtnisBangsa Isr...

This article is about a series of seacoast guns. For the contemporary field gun, see 3-inch M1902 field gun. Rapid-fire seacoast gun 3-inch gun M1898, M1902, M1903 3-inch gun M1903TypeRapid-fire seacoast gunPlace of originUnited StatesService historyIn service1899–1945Used byUnited States Army Coast Artillery CorpsWarsWorld War I and World War IIProduction historyDesigned M1898: 1898 M1902: 1902 M1903: 1903 Manufacturer M1898: Driggs-Seabury M1902: Bethlehem Steel M1903:...

 

 

Town and municipality in Puerto Rico San Germán redirects here. For the Cuban town, see Urbano Noris. Municipality in Puerto Rico, United StatesSan Germán Municipio Antónomo de San GermánMunicipalitySan Germán Historic District with Porta Coeli and historic buildings in San Germán Pueblo FlagCoat of armsNickname: City Founder of towns (Ciudad Fundadora de Pueblos)Anthem: San Germán es mi pueblo queridoMap of Puerto Rico highlighting San Germán MunicipalityCoordinates: 18°N 67°W...

 

 

ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Раннее христианство Гностическое христианство Вселенские соборы Н...

French zoologist and artist (1819-1904) Marie Firmin BocourtMarie Firmin BocourtBorn(1819-04-19)19 April 1819Paris, FranceDied4 February 1904(1904-02-04) (aged 84)Paris, FranceNationalityFrenchScientific careerFieldsZoology Marie Firmin Bocourt (19 April 1819 – 4 February 1904) was a French zoologist and artist. As a young man, he worked as a preparateur for the zoologist Gabriel Bibron (1805–1848), later serving as a museum artist. In 1861, he was sent to Thailand (then called Siam)...

 

 

Universitas Wijaya Kusuma SurabayaUWKSMotoAnggung Wimbuh LinuwihJenisSwastaDidirikan19 Juni 1981RektorProf. Dr. dr. H. Widodo Ario Kentjono, Sp.THT-KL(K), FICS.LokasiJalan Dukuh Kupang XXV/54 Surabaya, Jawa Timur, Indonesia. Kode Pos 60225KampusPerkotaanWarna  KuningSitus webuwks.ac.id Gedung Fakultas Kedokteran Universitas Wijaya Kusuma Surabaya Universitas Wijaya Kusuma Surabaya adalah salah satu perguruan tinggi swasta di Surabaya yang didirikan pada 19 Juni 1981. Universitas ini memi...

 

 

ليدز آند ذي ثاوزند ايلندز   الإحداثيات 44°27′00″N 76°05′00″W / 44.45°N 76.083333333333°W / 44.45; -76.083333333333   [1] تقسيم إداري  البلد كندا[2]  خصائص جغرافية  المساحة 612.45 كيلومتر مربع[3]  عدد السكان  عدد السكان 9465 (2016)[3]  الكثافة السكانية 15.45 نسمة/كم2 م...

Korean-American aviator (1932–2022) In this Korean name, the family name is No. No Kum-sokNo in 1953Birth nameNo Kum-sokBorn(1932-01-10)January 10, 1932Shinko, Kankyōnan-dō, Korea, Empire of Japan(now Sinhung County, South Hamgyong Province, North Korea)DiedDecember 26, 2022(2022-12-26) (aged 90)Daytona Beach, Florida, U.S.Service/branch KPA Air Force KPA Naval ForceYears of service1949–1953RankSenior lieutenantBattles/warsKorean War No Kum-sokChosŏn'gŭl노금석Hancha盧今...

 

 

Processes in astrophysics The term p-process (p for proton) is used in two ways in the scientific literature concerning the astrophysical origin of the elements (nucleosynthesis). Originally it referred to a proton capture process which was proposed to be the source of certain, naturally occurring, neutron-deficient isotopes of the elements from selenium to mercury.[1][2] These nuclides are called p-nuclei and their origin is still not completely understood. Although it was sh...

 

 

Main article: 1940 United States presidential election 1940 United States presidential election in New Mexico ← 1936 November 5, 1940 1944 →   Nominee Franklin D. Roosevelt Wendell Willkie Party Democratic Republican Home state New York New York Running mate Henry A. Wallace Charles L. McNary Electoral vote 3 0 Popular vote 103,699 79,315 Percentage 56.59% 43.28% County Results Roosevelt   50-60%   60-70%   70-80% W...

Modern syncretic pagan religion based on white magic, occultism and paganism This article is about the duotheistic religion. For other uses, see Wicca (disambiguation). Wiccan jewelry, showing a pentacle necklace, a pentacle ring, and a torc. A pentacle is used by many adherents of Wicca. The pentacle is generally placed on a Wiccan altar to honour the elements and directions. Part of a series onWiccaPentacle History of Wicca History of Wicca Etymology of Wicca Bricket Wood coven New Forest c...

 

 

Spontaneous trip by US president to local monument Nixon (left) at the Lincoln Memorial with student protester Bob Moustakas. The Lincoln Memorial at night in 2014. In the early hours of May 9, 1970, President Richard Nixon made an unplanned visit to the Lincoln Memorial where he spoke with anti-war protesters and students for almost two hours. The protesters were conducting a vigil in protest of Nixon's recent decision to expand the Vietnam War into Cambodia and the recent deaths of students...