במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן ${\displaystyle \ [0,\infty )}$: $${\displaystyle \theta (x)=H(x)=u(x)=1_{[0,\infty )}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x<0\\1&&x\geq 0\end{matrix}}\right.}$$ (הערך ב-${\displaystyle \,x=0}$ מוגדר לעיתים אחרת, למשל ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$).

תכונות הפונקציה:

• הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-${\displaystyle x=0}$.
• הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-${\displaystyle x=0}$.
• הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
• באופן לא פורמלי, "פונקציית הנגזרת" של ${\displaystyle \ H}$ היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה (Distribution) המקבלת בכל נקודה את הערך ${\displaystyle 0}$, פרט לנקודה ${\displaystyle \ x=0}$ בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-${\displaystyle H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,\mathrm {d} s}$ פרט אולי ל-${\displaystyle x=0}$.
• הפונקציה הקדומה של ${\displaystyle H}$ היא ${\displaystyle \mathrm {Ramp} (x)=\int _{-\infty }^{x}H(t)\,\mathrm {d} t=x\cdot H(x)}$, שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.
• התמרת לפלס של פונקציית המדרגה היא ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}={\frac {1}{s}}}$.

• פונקציית מדרגות
• פונקציית היחידה

מדיה וקבצים בנושא פונקציית מדרגה בוויקישיתוף

• פונקציית מדרגה, באתר MathWorld (באנגלית)