ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

מטריצה אקראית, התפלגות חצי המעגל של ויגנר, תיאוריה של קצוות התפלגות (אנ')

התפלגות טרייסי-וידום היא פונקציית התפלגות בתחום המטריצות אקראיות. ההתפלגות מתארת את הגודלו של הערך עצמי הגדול ביותר של סוגים מסוימים של מטריצות אקראיות כשהגודל שלהן שואף לאינסוף. ההתפלגות הוצגה לראשונה על ידי קרייג טרייסי (Craig Tracy) והארולד וידום (Harold Widom) בשנת 1993^[1]. אחת התכונות יוצאות הדופן של התפלגות טרייסי-וידום היא האוניברסליות שלה. כלומר ההתפלגות מצליחה לתאר את גודלו של הערך העצמי הגדול ביותר עבור מגוון רחב של קבוצות מטריצות אקראיות (בתנאי שהמטריצות מקיימות תנאי סימטריה מסוימים). אוניברסליות זו הפכה את התפלגות טרייסי-וידום לאובייקט יסוד בתורת המטריצות האקראיות, ומצאה גם יישומים בתחומים שונים כגון פיזיקה סטטיסטית, תורת המספרים וקומבינטוריקה.

התפלגות טרייסי-וידום מסומנת ב ${\displaystyle F_{\beta }}$ כאשר ${\displaystyle \beta }$ מייצגת את סוג המטריצה עבורה תחושב התפלגותו של ${\displaystyle \lambda _{max}}$ (נקראת גם "אינדקס דייסון").

קיימות שלוש צורות רווחות ${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$: מטריצה אורתוגונאלית (${\displaystyle \beta =1}$), מטריצה אוניטארית (${\displaystyle \beta =2}$), וסימפלקטית(אנ') (${\displaystyle \beta =4}$).

בפועל, ${\displaystyle \beta }$ יכולה להיות כל ערך טבעי.

ניתן להגדיר את ${\displaystyle F_{\beta }}$, פונקציית התפלגות מצטברת של התפלגות טרייסי-וידום עבור ${\displaystyle \beta }$ נתונה, כגבול של התפלגויות, בדומה למשפט הגבול המרכזי.

עבור מטריצה אקראית בגודל ${\displaystyle N\times N}$, שמוגרלת מההתפלגות המתאימה (כתולת ב-${\displaystyle \beta }$ שנבחרה), כאשר השונות של הערכים מחוץ לאלכסון היא ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. נגדיר את ${\displaystyle F_{N,\beta }(s)}$ להיות פונקציית ההתפלגות המצטברת של הערך העצמי המקסימלי. במילים אחרות ${\displaystyle F_{N,\beta }(s)=P(\lambda _{max}\leq s)}$. נגדיר את ${\displaystyle F_{\beta }}$ באמצעות הגבול:

${\textstyle F_{\beta }(x)=\lim _{N\to \infty }F_{N,\beta }\left({\frac {\lambda _{max}-2\sigma {\sqrt {N}}}{\sigma }}\cdot N^{1/6}+x\right)=\lim _{N\to \infty }Pr\left[N^{1/6}\left({\frac {\lambda _{max}-2\sigma {\sqrt {N}}}{\sigma }}\right)\leq x\right]}$

כלומר $${\displaystyle {\frac {\lambda _{max}-2{\sqrt {N}}}{N^{1/6}}}\xrightarrow {d} F_{\beta }}$$ או במילים: ההפרש בין ${\displaystyle \lambda _{max}}$ לבין מרכז ההתפלגות (${\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}}$) שואף לקבוע בקצב של ${\displaystyle N^{1/6}}$.

ההצגה הגבולית נותנת פירוש נוסף להתפלגות טרייס וידום: תיאור ה"תנודות" של ${\displaystyle \lambda _{max}}$ על קטע צר בגודל פרופורציוני ל ${\displaystyle N^{1/6}}$ סביב ${\displaystyle \lambda _{max}\approx {\sqrt {2N}}}$.

• הסטיה ${\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}}$ נובעת מהתפלגות חצי המעגל של ויגנר. הקובעת כי בגבול צפיפות הערכים העצמיים מתכנסת לחצי העיגול ברדיוס ${\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}}$.
• הכפלה בגורם ${\displaystyle N^{1/6}}$ משמשת לתיקון, כי סטיית התקן של ההתפלגות גדלה כמו ${\displaystyle N^{1/6}}$ (פותח לראשונה ב^[2]).

כאמור, ההתפלגות יכולה מהגדרתה להתרחב לכל ${\displaystyle \beta >0}$^[3][4].

${\displaystyle F_{2}}$ יכולה להיות מיוצגת על ידי הדטרמיננטה של פרדהולם (אנ'):$${\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{(s,\infty )^{n}}\det _{i,j=1,...,n}[A_{s}(x_{i},x_{j})]dx_{1}\cdots dx_{n}}$$כאשר האינטגרל מחושב על חצי המעגל ${\displaystyle (s,\infty )}$ וכן ${\displaystyle A_{s}}$ היא פונקציית גרעין המוגדרת:$${\displaystyle A_{s}(x,y)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}\quad {\text{if }}x\neq y\\Ai'(x)^{2}-x(Ai(x))^{2}\quad {\text{if }}x=y\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ נקראת פונקציית איירי.

נניח כי ${\displaystyle q(s)}$ מייצגת פתרון של הטרנסצנדנטים של פנלבה (אנ') מסדר שני:$${\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}}$$עם חסם גבולי של ${\textstyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\to \infty }$^[5]. כעת נגדיר ${\displaystyle I(t),J(t)}$ כך ש$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}I(t)&=&-\int _{t}^{\infty }(x-t)q^{2}(x)dx\\J(t)&=&\int _{t}^{\infty }q(x)dx\end{array}}}$$אז התפלגות ${\displaystyle F_{2}}$ (ההתפלגות המצטברת של טרייסי-וידום) תוגדר להיות^[6]$${\displaystyle F_{2}(t)=e^{I(t)}=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)}$$בעזרת אותה ${\displaystyle q(s)}$ ניתן לתאר גם ${\displaystyle \beta }$ נוספות^[7]:$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)={\sqrt {F_{2}(t)e^{-J(t)}}}&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}\\F_{4}(s/{\sqrt {2}})&=\cosh \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.\end{aligned}}}$$

כאמור, האוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום הביאה חוקרים לחקור את זנבותיה. חקר הזנבות מתבסס על הייצוג של ההתפלגות לפי משוואת פנילבה שהוזכרו לעיל.

תהי ${\displaystyle f_{\beta }(x)=F_{\beta }'(x)}$ פונקציית הצפיפות אז^[8]$${\displaystyle f_{\beta }(x)\sim {\begin{cases}e^{-{\frac {\beta }{24}}|x|^{3}},\quad x\to -\infty \\e^{-{\frac {2\beta }{3}}|x|^{3/2}},\quad x\to +\infty \end{cases}}}$$ניתן לראות כי ההתפלגות אכן בעלת זנב ימני. כלומר יותר סביר כי ${\displaystyle \lambda _{max}}$ יהיה גדול מ ${\displaystyle {\sqrt {2N}}}$. נזכור כי ההתפלגות הגבולית היא התפלגות חצי העיגול, ולכן ה"זנביות" נובעת מה"דחיה" ממרכז ההתפלגות, ולכן הסיכוי של ${\displaystyle \lambda _{max}}$ להיות קטן ${\displaystyle {\sqrt {2N}}}$ יקטן.

עבור הזנב השמאלי ${\displaystyle x\to -\infty }$ קיים פיתוח סגור יותר^[8]: $${\displaystyle f_{\beta }(x)\sim \tau _{\beta }|x|^{(\beta ^{2}+4-6\beta )/16\beta }\exp \left[-\beta {\frac {|x|^{3}}{24}}+{\sqrt {2}}{\frac {\beta -2}{6}}|x|^{3/2}\right]}$$עבור ${\displaystyle \tau _{\beta }}$ קבוע כלשהו התלוי ב ${\displaystyle \beta }$.

דוגמה לקצב דעיכת הזנבות של ${\displaystyle f_{1}}$

מהגדרה, הצפיפות של ${\displaystyle F_{1}}$ מוגדרת להיות $${\displaystyle f_{1}(s)={\frac {1}{2}}F_{1}(s){\Biggl (}q(s)+\int _{s}^{\infty }q^{2}dx{\Biggl )}}$$אם כן, עבור ${\displaystyle s}$ חיובי גדול מספיק, נקבל (מהגדרות שהוזכרו לעיל) כי $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}q(s)\sim Ai(s)\sim 2^{-1}\pi ^{-1}s^{-1/4}e^{-{\frac {2}{3}}s^{3/2}}\\\int _{s}^{\infty }q^{2}dx\sim (8\pi s)^{-1}e^{-{\frac {4}{3}}s^{3/2}}=O(q(s))\end{array}}}$$ ולכן סך הכל ${\displaystyle f_{1}(s)\approx q(s)\approx e^{-{\frac {2}{3}}s^{3/2}}}$. בעבור הזנב השמאלי, הוכח כבר^[9] כי עבור ${\displaystyle s}$ שלילי מתקבל $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}q(s)\sim {\sqrt {-s/2}}\longrightarrow \int \limits _{s}^{\infty }qdx\sim {\frac {\sqrt {2}}{3}}|s|^{\frac {3}{2}}\\\int \limits _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)dx\sim |s|^{3}/12\end{array}}}$$ואכן נקבל את המקרה הפרטי עבור ${\displaystyle \beta =1}$ כי הזנב השמאלי של ${\displaystyle f_{1}}$ מתנהג כמו ${\displaystyle f_{1}(s)\approx e^{-{\frac {|s|^{3}}{12}}}}$.

פונקציית ההסתברות המצטברת תחת ${\displaystyle x\to +\infty }$^[10]: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {4}{3}}x^{3/2}}}{32\pi x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {35}{24x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )},\\E(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{4{\sqrt {\pi }}x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {41}{48x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )}\end{aligned}}}$$עבור הזנב השמאלי ${\displaystyle x\to -\infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=2^{1/48}e^{{\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)}{\frac {e^{-{\frac {1}{24}}|x|^{3}}}{|x|^{1/16}}}\left(1+{\frac {3}{2^{7}|x|^{3}}}+O(|x|^{-6})\right)\\E(x)&={\frac {1}{2^{1/4}}}e^{-{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}|x|^{3/2}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{24{\sqrt {2}}|x|^{3/2}}}+{\cal {O}}(|x|^{-3}){\Biggr )}.\end{aligned}}}$$ כאשר ${\displaystyle \zeta }$ פונקציית זטא של רימן כך ש ${\displaystyle \zeta '(-1)=-0.1654211437}$.

בצורה כזו פונקציית ההתפלגות המצטברת ניתנת לניתוח לכל זנב בנפרד. למשל עבור ${\displaystyle F_{2}}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}1-F_{2}(x)&={\frac {1}{32\pi x^{3/2}}}e^{-4x^{3/2}/3}(1+O(x^{-3/2})),\\F_{2}(-x)&={\frac {2^{1/24}e^{\zeta ^{\prime }(-1)}}{x^{1/8}}}e^{-x^{3}/12}{\biggl (}1+{\frac {3}{2^{6}x^{3}}}+O(x^{-6}){\biggr )}.\end{aligned}}}$$

תהא מטריצה ${\displaystyle H_{\beta }}$ המוגדרת β-הרמיטית בגודל ${\displaystyle N\times N}$, נניח כי ${\displaystyle \beta =1}$ כלומר אוניטארית. כניסות המטריצה ${\displaystyle H_{ij}}$ נדגמו מהתפלגות גיאוסיאנית קרי $${\displaystyle P(H_{ij})={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}exp[-H_{ij}^{2}],&{\text{if }}i=j\\{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}exp[-H_{ij}^{2}],&{\text{if }}i>j\end{cases}}}$$ לכן פונקציית הצפיפות המשותפת של כל ${\displaystyle N}$ הערכים העצמיים (הבלתי תלויים, ללא סדר מסוים)^[11]:$${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N})={\frac {1}{Z_{N,\beta }}}e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}\right)}\prod _{j<k}|\lambda _{j}-\lambda _{k}|^{\beta }}$$כאשר ${\displaystyle Z_{N,\beta }}$ הוא קבוע נרמול ${\displaystyle Z_{N,\beta }=\left(2\pi \right)^{N/2}\prod _{k=1}^{N}{\frac {\Gamma \left(1+k{\frac {\beta }{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {\beta }{2}}\right)}}}$.

• הרכיב ${\displaystyle e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}\right)}}$ הוא בעצם ${\displaystyle e^{-Tr(H^{2})/2}}$
• הרכיב ${\displaystyle \prod _{j<k}|\lambda _{j}-\lambda _{k}|^{\beta }}$ הוא אופרטור הגזירה ${\displaystyle dH=\prod _{i}dH_{ii}\prod _{i<j}dH_{ij}}$.

תהי מערכת המכילה בתוכה ${\displaystyle N}$ אובייקטים הנעים במרחב בצורה רנדומלית ובלתי תלויה לחלוטין. נרצה לחקור את התנועה במערכת (כוחות דוחפים\מושכים) – ובפרט לפתח את היכולת למצוא בה נקודות שיווי משקל. אם נדמיין את התנועה במרחב הרב-ממדי בתור וקטור ${\displaystyle V=(y_{1},...,y_{N})}$ הרי שנקודות שיווי המשקל \יציבות ${\displaystyle y^{\star }}$ יתאפיינו על ידי ${\displaystyle \nabla V(y^{\star })=0}$ (נק' סטציונאריות). לכן נתעניין בהסיאן ${\displaystyle H_{N\times N}}$ של ${\displaystyle V}$:$${\displaystyle H_{ij}={\partial ^{2} \over \partial y_{i}\partial y_{j}}V}$$כעת – הערכים העצמיים של המטריצה ${\displaystyle H_{ij}}$ יקבעו את טבע התנועה במערכת (מינימום\מקסימום לוקאלי\גלובאלי ואוכף). למשל עבור ${\displaystyle N=2}$ יהיו שני ערכים עצמיים ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}&if\ \lambda _{1}>0\ and\ \lambda _{2}>0\ \rightarrow Local\ Minimum\\\ &if\ \lambda _{1}<0\ and\ \lambda _{2}<0\ \rightarrow Local\ Maximum\\\ &if\ \operatorname {sgn}(\lambda _{1})\neq \operatorname {sgn}(\lambda _{2})\rightarrow SaddlePoint\end{aligned}}}$$אם כן, עבור נקודת מינימום נרצה שכל הערכים העצמיים יהיו שליליים ${\displaystyle \forall \ i:\lambda _{i}<0}$.

נסמן ב ${\displaystyle \lambda _{max}}$ את הערך העצמי המקסימלי ונקבל את השקילות ${\displaystyle P[\forall \ i:\lambda _{i}<0]=P[\lambda _{max}<0]}$.

במילים אחרות, הסיכוי ליציבות של המערכת (מינימום לוקאלי) תלויה בהתפלגותו של הערך העצמי המקסימלי של ההסיאן.

ניתן גם לפתח התפלגות לערכים העצמיים השני והשלישי בגודלם^[12].

ערך מורחב – התפלגות חצי המעגל של ויגנר

התפתחות ענף המטריצות האקראיות מתחיל באמצע המאה ה-20. הפיזיקאי יוג'ין ויגנר הציג את המטריצות האקראיות בפיזיקה בשנות ה-50, במקור על מנת לדמות את רמות האנרגיה של גרעיני אטומים כבדים^[13]. בשנת 1951, ויגנר הציג את מה שנודע לאחר מכן כהתפלגות חצי המעגל של ויגנר, המתארת את ההתפלגות של ערכים עצמיים עבור מטריצות סימטריות אקראיות גדולות. עבודה זו היוותה את הבסיס לתורת המטריצות האקראיות, שמצאה יישומים בפיזיקה גרעינית, כאוס קוונטי ותחומים נוספים. ויגנר הראה כי עבור מטריצה אקראית ${\displaystyle M_{N}}$ פונקציית הצפיפות של הערכים העצמיים מתכנסת (בהתפלגות) לחצי העיגול סביב הטווח ${\displaystyle [-2N,2N]}$. ניתן להסיק מכך שפיזור של ${\displaystyle N}$ ערכים עצמיים על טווח זה יצור מרחק ממוצע בין ערכים עצמיים סמוכים פרופורציונלי ל ${\displaystyle N^{-1/2}}$. בנוסף, התפלגותו של הערך עצמי המקסימלי יהיה סביב ${\displaystyle {\sqrt {2N}}}$.

בהמשך לתובנותיו של ויגנר, מתמטיקאים ופיזיקאים חקרו במהלך העשורים הבאים היבטים שונים של מטריצות אקראיות. התפתחות חשובה הגיעה בשנות ה-70 כאשר רוברט מיי (Robert May, Baron May of Oxford) יישם את מושגי המטריצות האקראיות בתחום האקולוגיה, תוך שימוש בהן כדי לנתח את היציבות של מערכות אקולוגיות מורכבות. מיי גילה ב"תאוריית האינטראקציה" שלו נקודה קריטית^[14], שמעבר לה המערכת האקולוגית הופכת לבלתי יציבה. נקודת מפנה זו, כפי שהתברר מאוחר יותר, הייתה קשורה באופן הדוק להתפלגות טרייסי-וידום.

בשנים אלו התגלה כי בעיות שונות שנחקרו בהרחבה חולקות את אותה פונקציית התפלגות – התפלגות טרייסי-וידום^[15].

הבעיה הראשונה היא תחום המטריצות האקראיות, שם מקומה של ההתפלגות בבעיה התגלה על ידי טרייס ווידום עצמם. מאוחר יותר, בשנת 1999, התגלה^[16] שהתפלגות טרייסי וידום מתארת גם את ההתפלגות של אורכו של תת רצף עולה הארוך ביותר (Longest increasing subsequence), בעיה ידועה בתחום הקומבינטוריקה. מיד לאחר מכן, התגלה בכמה מחקרים נפרדים שההתפלגות הזו מופיעה גם במודלי צמיחה אקראית שונים מתחום הפיזיקה הסטטיסטית, בפרט מודלים המנסים לתאר תהליכים הכוללים מעבר פאזה כמו מודל ה-PNG (Polynuclear Growth)^[17], ומודלים נוספים המבוססים על משוואות קרדר-פאריסי-זנג (Kardar–Parisi–Zhang equation). ב-2005, התגלה על ידי כי גם בעיית תת הרצף המשותף הארוך ביותר (Longest common subsequence) מכילה גם היא בתוכה את התפלגות טרייסי וידום^[18], בפרט כאשר מדובר בסט סופי של אותיות מהן נדגמים הרצפים (כמו רצפים גנטים בביואינפורמטיקה).

ערך מורחב – מעבר פאזה

כאמור, 10 שנים מניסוח ההתפלגות, תחומי מחקר שונים לחלוטין מצאו בה שימוש יסודי בבעיות שלהם. אך לרוב (בדומה לגילוי הראשוני של רוברט מיי) השימוש היה בשיא ההתפלגות על מנת לתאר מעבר מיציבות של מערכת דינאמית לחוסר יציבות. גילויים אלה הניעו חוקרים לחקור דווקא את זנבות ההתפלגות.

בשנת 2006 פרופסור Satya Majumdar נחשף למחקרים שגרסו כי נקודות יציבות בתורת המיתרים מקבילות לתת-קבוצה של מטריצות אקראיות שהערכים העצמיים הגדולים ביותר שלהן הם שליליים – רחוק משמאל לערך הממוצע של ${\displaystyle {\sqrt {2N}}}$ בשיא עקומת טרייסי-וידום. הוא תהה עד כמה נדירות עשויות להיות נקודות יציבות אלו.

כדי לענות על השאלה, מג'ומדר ודייוויד דין^[19], התחילו לחקור את הזנב הקיצוני השמאלי של התפלגות טרייסי-וידום, אזור בהתפלגות שטרם נחקר. בתוך שנה, הם פרסמו את מחקרם בכתב העת Physical Review Letters^[20], שם טענו כי בצד השמאלי, קצב הדעיכה של ההתפלגות הוא כפונקציה של ${\displaystyle N^{2}}$ . בצד הימני, מג'ומדר ודין הופתעו לגלות שההתפלגות ירדה בקצב איטי יותר, כפונקציה של ${\displaystyle N}$.

בשנת 2011, הצורה של הזנבות השמאלי והימני נתנה למג'ומדר וצוותו תובנה פתאומית: הם הבינו שהאוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום יכולה להיות קשורה לאוניברסליות של מעברי פאזה — אירועים כמו הקפאת מים לקרח, גרפיט שהופך ליהלום ומתכות רגילות שהופכות למוליכי-על^[21].

”מכיוון שמעברי פאזה הם כל כך נפוצים – כל החומרים עוברים שינוי פאזה כאשר הם מוזנים או מורעבים מכמות מספקת של אנרגיה – ולוקחים רק קומץ של צורות מתמטיות, הם עבור הפיזיקאים הסטטיסטיים כמעט כמו דת” (מג'ומדר)

בשולי ההתפלגות המיניאטוריים של טרייסי-וידום, מג'ומדר, וצוותו זיהו צורות מתמטיות מוכרות: עקומות נפרדות המתארות שני קצבים שונים של שינוי בתכונות של מערכת, היורדות משני הצדדים של שיא מעבר פאזה. אלו היו סימני מעבר פאזה.

על מנת לתת הערכה נומרית להתפלגות טרייסי-וידום, נדרשו טכניקות נומריות להשגת פתרונות נומריים למשוואות פנלבה מסוגים II ו-V. פתרונות אלה הוצגו לראשונה על ידי תבנית באמצעות MATLAB על ידי אנדלמן ופרסון^[22].

טכניקות קירוב אלו קיבלו הצדקה אנליטית נוספת^[23] ושימשו לצורך הערכה נומרית של התפלגויות ${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$ באמצעות S-PLUS, באותה העבודה ההתפלגויות קובעו בטבלה בדיוק של עד 4 ספרות בקפיצות של 0.01 ביחד עם טבלת מובהקות (p-value).

בשנת 2010 נוסח אלגוריתם^[24] מהיר לחישוב ערכי ${\displaystyle F_{\beta }}$ וערכי הצפיפות ${\displaystyle f_{\beta }=dF_{\beta }/ds}$ עבור ${\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}}$. האלגוריתם מספק חישוב נומרי של הממוצע, השונות, צידוד והגבנוניות יתרה:

גבנוניות יתרה	צידוד	שונות	ממוצע	${\displaystyle \beta }$
0.1652429384	0.29346452408	1.607781034581	−1.2065335745820	1
0.0934480876	0.224084203610	0.8131947928329	−1.771086807411	2
0.0491951565	0.16550949435	0.5177237207726	−2.306884893241	4

באמצעות אלו, פותח אלגוריתם^[25] להתפלגות של הערך העצמי ה ${\displaystyle k}$ של האופרטור ${\displaystyle A_{s}}$ היכול לשמש לחישוב התפלגות טרייסי-וידום^[26].

ב-R קיימת החבילה בשם 'RMTstat'^[27], ב-MATLAB קיימת החבילה בשם 'RMLab'^[28], ובפייתון קיימות מספר חבילות ביניהן scikit-rmt.

מטריצת השונות המשותפת נמצאת במרכז חקר הסטטיסטיקה ובפרט סטטיסטיקה הרב ממדית. כפי שהעיר איאן ג'ונסטון (Iain M. Johnstone)^[29]:

”תכונה בולטת של התיאוריה הקלאסית של ניתוח סטטיסטי רב-משתני היא שרוב הטכניקות הסטנדרטיות—רכיבים עיקריים, מתאמים קאנוניים, ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA), ניתוח הבחנה וכדומה—מבוססות על ניתוח ערכים עצמיים של מטריצות השונות-המשותפת.”

בידינו מטריצת נתונים ${\displaystyle X_{p\times n}}$ המתארת ${\displaystyle n}$ דגימות מ ${\displaystyle p}$ משתנים (עמודה ב ${\displaystyle X}$ מתארת תצפית אחת מ ${\displaystyle p}$ משתנים). אנו מניחים כי ${\displaystyle X_{p\times n}\sim N_{p}(\mu ,\Sigma )}$ ולשם הפשטות ${\displaystyle \mu =0}$.

הבעיה שלפנינו היא להסיק את תכונות ${\displaystyle \Sigma =\left(Cov\left[X_{k},X_{k'}\right]\right)_{1\leq k,k'\leq p}}$ מתוך מטריצת השונות הנצפית ${\displaystyle S={\frac {1}{n}}X^{T}X}$, ממנה ניתנים לחילוץ ${\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}}$ – הערכים העצמיים הנצפים של ${\displaystyle S}$.

נרצה לבצע בדיקת השערות כאשר השערת האפס היא כי אין קורלציה בין ${\displaystyle p}$ המשתנים כלומר ${\displaystyle H_{0}:\Sigma =I,\ H_{1}:else}$.

נרצה לפתח סטטיסטי תחת ההנחה כי ${\displaystyle \Sigma =I}$. תחת הנחה זו מצופה כי ${\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}\approx 1}$. על מנת לאמוד כמה "קיצוניים" ערכי ${\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}}$ כך שיצדיקו דחיה של השערת האפס נחקור את ההתפלגות שלהם תחת הנחה זו. התפלגות זו נחקרה ונקראת התפלגות וישארט (Wishart distribution) (התפלגות זו היא הרחבה של התפלגות חצי המעגל של ויגנר). כלומר נתעניין ב$${\displaystyle P\left({\widehat {\ell _{1}}}>t|\Sigma \sim _{H_{0}}W_{p}(n,I)\right)}$$כאשר הקשר בין התפלגות טרייסי וידום (הערך העצמי הגדול ביותר של ${\displaystyle S}$) להתפלגות וישארט היא $${\displaystyle {\frac {\lambda _{\max }(W_{n})-\mu _{np}}{\sigma _{np}}}\xrightarrow {d} F_{\beta }}$$תחת ${\displaystyle n,p\to \infty }$ וכן ${\displaystyle n/p\to \gamma \geq 1}$ מתקבל החסם^[30]$${\displaystyle \left\vert P\left(n{\hat {\ell _{1}}}\leq \mu _{np}+\sigma _{np}t|H_{0}\right)-F_{\beta }(t)\right\vert \leq Ce^{-ct}p^{-2/3}}$$כלומר תחת ההשערה ${\displaystyle \Sigma =I}$ התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר הנצפה קרובה בדיוק מסדר שני להתפלגות טרייסי-וידום.

ולכן התפלגות זו היא התפלגות הסטטיסטי המבוקש ובאמצעותה ניתן לבצע את בדיקת ההשערות.

ובפרט קבועי הנרמול הרלוונטיים הם^[30]: $${\displaystyle \mu _{np}=\left({\sqrt {n-{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {p-{\frac {1}{2}}}}\right)^{2},\quad \sigma _{np}=\left({\sqrt {n}}+{\sqrt {p}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{2}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {p-{\frac {1}{2}}}}}\right)^{1/3}}$$דוגמה

נניח כי נתון: ${\displaystyle \Sigma }$ מקיימת ${\displaystyle \beta =1}$, ${\displaystyle n=10,p=10}$.

כעת, נניח כי הערך העצמי הגבוהה ביותר הנצפה הוא ${\displaystyle {\widehat {\ell _{1}}}=2}$. האם הוא קיצוני דיו עבורינו?

ראשית, נדרוש דיוק של 0.01 להתפלגות ${\displaystyle F_{1}}$ (התפלגות טרייסי וידום עם ${\displaystyle \beta =1}$), דיוק זה מתקבל בהסתברות לכל היותר ${\displaystyle {\text{0.213}}}$. בהנחה ואנו מסופקים מהסתברות זו (אחרת, ניאלץ לשנות את הקבועים שלנו) – ניתן נומרית לפתח את התפלגות ${\displaystyle F_{1}}$ לערכים נבחרים:

ערכי ${\displaystyle x}$ עבור ההסתברות ${\displaystyle P(\psi _{1}\geq x)}$ כאשר ${\displaystyle \psi _{1}\sim F_{1}}$

${\displaystyle 0.45014}$	${\displaystyle 0.53508}$	${\displaystyle 0.62792}$	${\displaystyle 0.73069}$	${\displaystyle 0.84633}$	${\displaystyle 0.97931}$	${\displaystyle 1.13706}$	${\displaystyle 1.33321}$	${\displaystyle 1.59776}$	${\displaystyle 2.02345}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle .10}$	.09	${\displaystyle .08}$	${\displaystyle .07}$	${\displaystyle .06}$	${\displaystyle .05}$	${\displaystyle .04}$	${\displaystyle .03}$	${\displaystyle .02}$	${\displaystyle .01}$	${\displaystyle P(\psi _{1}\geq x)}$

אם כן, מובהקות התוצאה ${\displaystyle {\widehat {\ell _{1}}}=2}$ היא ${\displaystyle P(\psi _{1}\geq 2)\approx P(\psi _{1}\geq 2.023)=0.01}$.

דוגמה נוספת לשימוש בהתפלגות טרייסי וידום הוא שילוב בדיקת ההשערות בניתוח מדגמים רועשים. לעיתים רוצים לזהות האם יש "אות" בתוך הרעש. לדוגמה, במקרה בו יש לנו מטריצת מתאם או שונות משותפת שמתארת נתונים, השאלה היא אם קיימת סטייה משמעותית שיכולה להעיד על מידע משמעותי (אות) או שהמדגם כולו מבוסס על רעש אקראי בלבד. במילים אחרות, מטריצת השונות היא מהצורה $${\displaystyle \Sigma _{\ell }=diag\left(\ell _{1}^{2},\ell _{2}^{2},...,\ell _{k}^{2},\sigma _{e}^{2},...,\sigma _{e}^{2}\right)}$$והמטרה היא למצוא כי מדובר בערך העצמי ה ${\displaystyle k}$.

ה-BBP Transition (נקרא על שמם של החוקרים Baik, Ben Arous, ו-Péché שגילו אותו לראשונה בשנת 2005^[31] ) מתאר את הנקודה שבה האות נהיה חזק דיו כדי לגרום לערך העצמי הגדול ביותר לחרוג ממשטר של רעש אקראי. נקודה זו נקראת "spike",זהו מעבר חד (כמו "מעבר פאזה" בפיזיקה, שבו המערכת עוברת ממשטר אחד לאחר).

נציין, כי במצב כזה המטריצה ${\displaystyle S=XX^{T}\in W_{p}(n,\Sigma ),\Sigma \neq I}$ אינה מקיימת ${\textstyle {\frac {\lambda _{\max }(W_{n})-\mu _{np}}{\sigma _{np}}}\xrightarrow {d} F_{1}}$. מחקרים שונים פתרו את הבעיה למקרים פרטיים שונים. למשל, במקרה "הפשוט" בו ${\displaystyle \sigma _{e}^{2}=1}$ מתקיים $${\displaystyle n^{2/3}{\frac {{\hat {\ell _{1}}}-\mu }{\sigma }}\longrightarrow F_{2}}$$ עבור ${\displaystyle 1\leq {\hat {\ell _{1}}}<1+{\sqrt {\gamma }},p/n\to \gamma }$. במצב כזה ניתן למשל לפתח את ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{k}|n,p,\Sigma _{\ell })}$ – התפלגות של הערך העצמי ה-${\displaystyle k}$ בגודלו המתאים ל ${\displaystyle XX^{T}}$ כאשר ${\displaystyle X_{n\times p}\sim N_{p}(0,\Sigma _{\ell })}$.

נשים לב כי הערך העצמי ה ${\displaystyle k+1}$ במודל ה"ספייק" קטן סטוכסטית מהערך העצמי הגדול ביותר במודל עם ${\displaystyle p-k}$ משתנים^[32]. ולכן נותר לבצע מבחן השערות (לא אסימפטוטי) $${\displaystyle H_{0}:\ell _{k+1}=1,\ H_{1}:else}$$ באמצעות ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{1}|n,p-k,I_{p-k})}$ – התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר לאחר ש"ניקינו" את ${\displaystyle k}$ הערכים העצמיים הגודלים. אם כן, הערך העצמי ה ${\displaystyle k+1}$ במטריצה החדשה בעל התפלגות טרייסי וידום, כלומר ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{1}|n,p-k,I_{p-k})}$ שקולה נומרית ל ${\displaystyle F_{1}}$ על ידי$${\displaystyle {\frac {\ell _{k+1}-\mu _{n,p-k}}{\sigma _{n,p-k}}}\sim F_{1}}$$ומכאן ניתן לבצע את בדיקת ההשערות כפי שהוצגה לעיל.

• מגבלות גבוליות: מסתבר כי הדיוק מסדר שני שהתקבל יחסית מדויק גם עבור ${\displaystyle n,p}$ יחסית קטנים ואף שלא מקיימים את ההנחה ${\displaystyle n/p\to \gamma \geq 1}$. ג'ונסטון במאמרו^[33] בחן את דיוקו של הקירוב לצורכי חישוב מובהקות בעזרת טבלאות נומריות של התפלגות ${\displaystyle W(n,I)}$^[34].
• סימולציית קוד של התפלגות טרייסי-וידום ממשוואת פנלבה ב-Computational Random Matrix Theory.
• רשימות הרצאה של Satya N. Majumdar על הופעתה של התפלגות טרייסי-וידום בשלל בעיות.

• התפלגות חצי המעגל של ויגנר

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • מקסוול-בולצמן • בוז-איינשטיין • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת