En matemáticas, unha álxebra sobre un corpo (moitas veces chamada simplemente álxebra) é un espazo vectorial equipado cun produto bilinear. Así, unha álxebra é unha estrutura alxébrica que consiste nun conxunto xunto con operacións de multiplicación e suma e multiplicación escalar por elementos dun corpo e que satisfai os axiomas implicados por "espazo vectorial" e "bilinear". ^[1]

A operación de multiplicación nunha álxebra pode ser asociativa ou non, o que leva ás nocións de álxebras asociativas e álxebras non asociativas. Dado un número enteiro n, o anel de matrices cadradas reais de orde n é un exemplo de álxebra asociativa sobre o corpo dos números reais baixo a suma matricial e a multiplicación matricial xa que a multiplicación matricial é asociativa. O espazo euclidiano tridimensional coa multiplicación dada polo produto vectorial é un exemplo de álxebra non asociativa sobre o corpo dos números reais xa que o produto vectorial non é asociativo, senón que satisfai a identidade de Jacobi.

Unha álxebra é unitaria se ten un elemento de identidade con respecto á multiplicación. O anel de matrices cadradas reais de orde n forma unha álxebra unitaria xa que a matriz de identidade de orde n é o elemento de identidade con respecto á multiplicación matricial. É un exemplo de álxebra asociativa unitaria, un anel (unitario) que tamén é un espazo vectorial.

Substituír o corpo de escalares por un anel conmutativo leva á noción máis xeral dunha álxebra sobre un anel. As álxebras non deben confundirse con espazos vectoriais equipados cunha forma bilinear, como os espazos prehilbertianos, xa que, para tal espazo, o resultado dun produto non está no espazo, senón no corpo dos coeficientes.

Álxebra	espazo vectorial	operador bilinear	asociatividade	conmutividade
números complexos	${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	produto de números complexos ${\displaystyle \left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)}$	Si	Si
produto vectorial de vectores 3D	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	produto vectorial ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$	Non	Non (é anticomutativo)
cuaternións	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	Produto Hamilton ${\displaystyle (a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})}$	Si	Non
polinomios	${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$	multiplicación polinómica	Si	Si
matrices cadradas	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$	multiplicación matricial	Si	Non

Sexa K un corpo, e sexa A un espazo vectorial sobre K equipado cunha operación binaria adicional de A × A a A, denotado por · (é dicir, se x e y son dous elementos calquera de A, entón x · y é un elemento de A que se chama produto de x e y ). Entón A é unha álxebra sobre K se as seguintes identidades valen para todos os elementos x, y, z en A e todos os elementos (a miúdo chamados escalares) a e b en K:

• Distributividade pola dereita : (x + y) · z = x · z + y · z
• Distributividade pola esquerda: z · (x + y) = z · x + z · y
• Compatibilidade con escalares: (ax) · (by) = (ab) (x · y) .

Estes tres axiomas son outra forma de dicir que a operación binaria é bilinear. Unha álxebra sobre K ás veces tamén se chama K-álxebra, e K chámase corpo base de A. A operación binaria adoita denominarse multiplicación en A.

Cando unha operación binaria nun espazo vectorial é conmutativa, a distributividade esquerda e a distributividade dereita son equivalentes.

Dadas as K-álxebras A e B, un homomorfismo da K-álxebra é un mapa K-linear f : A → B tal que f (xy) = f (x) f (y) para todo x, y en A. O espazo de todos os homomorfismos da K-álxebra entre A e B escríbese frecuentemente como

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alx}}}(A,B).}$

Un isomorfismo da K-álxebra é un homomorfismo bixectivo da K-álxebra. Para todos os efectos prácticos, as álxebras isomórficas difiren só pola notación.

Unha subálxebra dunha álxebra sobre un corpo K é un subespazo linear que ten a propiedade de que o produto de dous dos seus elementos está de novo no subespazo. Noutras palabras, unha subálxebra dunha álxebra é un subconxunto de elementos non baleiro que está pechado baixo a suma, a multiplicación e a multiplicación escalar. En símbolos, dicimos que un subconxunto L dunha K-álxebra A é unha subálxebra se para cada x, y en L e c en K, temos que x · y, x + y e cx están todos en L.

Dicimos que un subconxunto L dunha K-álxebra A é un ideal pola esquerda se para cada x e y en L, z en A e c en K, temos os tres enunciados seguintes.

1. x + y está en L (L é pechado baixo a adición),
2. cx está en L (L é pechado baixo a multiplicación escalar),
3. z · x está en L (L é pechado baixo a multiplicación pola esquerda por elementos arbitrarios).

Se substituímos (3) por x · z está en L, daquela estariamos definindo un ideal pola dereita. Un ideal polos dous lados é un subconxunto que é á vez ideal pola esquerda e pola dereita. Para un idela polos dous lados podemos dicir simplemente ideal.

Esta definición é diferente da definición dun ideal dun anel, xa que aquí esiximos a condición (2). Por suposto, se a álxebra é unitaria, daquela a condición (3) implica a condición (2).

Se temos unha extensión do corpo F/K, é dicir, un corpo F maior que contén K, daquela hai unha forma natural de construír unha álxebra sobre F a partir de calquera álxebra sobre K. É a mesma construción que se usa para facer un espazo vectorial sobre un corpo máis grande, esta construción é, o produto tensor ${\displaystyle V_{F}:=V\otimes _{K}F}$. Así se A é unha álxebra sobre K, entón ${\displaystyle A_{F}}$ é unha álxebra sobre F.

As álxebras sobre corpos teñen moitos tipos diferentes. Estes tipos especifícanse insistindo nalgúns axiomas máis, como a conmutatividade ou a asociatividade da operación de multiplicación, que non son necesarios na definición ampla dunha álxebra. As teorías correspondentes aos distintos tipos de álxebras adoitan ser moi diferentes.

Unha álxebra é unitaria se ten unha unidade ou elemento de identidade I con Ix = x = xI para todo x da álxebra.

Unha álxebra chámase álxebra cero se uv = 0 para todo u, v da álxebra, ^[2] non debe confundirse coa álxebra dun elemento. É inherentemente non unitaria (agás no caso dun só elemento), asociativa e conmutativa.

Pódese definir unha álxebra cero unitaria tomando a suma directa de módulos dun corpo (ou máis xeralmente un anel) K e un espazo K-vectorial (ou módulo) V, e definindo o produto de cada par de elementos de V para ser cero. Isto é, se λ, μ ∈ K e u, v ∈ V, entón (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu) . Se e₁, ... e_d é unha base de V, a álxebra cero unitaria é o cociente do anel polinómico K[E₁, ..., E_n] polo ideal xerado porE_iE_j para cada par (i, j).

Un exemplo de álxebra cero unitaria é a álxebra de números duais, a R-álxebra cero unitaria construída a partir dun espazo vectorial real unidimensional.

Estas álxebras cero unitarias poden ser máis útiles en xeral, xa que permiten traducir calquera propiedade xeral das álxebras a propiedades de espazos vectoriais ou módulos.

Como exemplos de álxebras asociativas podemos ter

• a álxebra de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$ sobre un corpo (ou anel conmutativo) K. Aquí a multiplicación é a multiplicación matricial ordinaria.
• álxebras de grupo, onde un grupo serve como base do espazo vectorial e a multiplicación de álxebras estende a multiplicación do grupo.
• a álxebra conmutativa K [x] de todos os polinomios sobre K (ver anel polinómico).
• álxebras de funcións, como a R-álxebra de todas as funcións continuas con valores reais definidas no intervalo [0,1], ou a C-álxebra de todas as funcións holomorfas definidas nalgún conxunto aberto fixo no plano complexo. Estas son tamén conmutativas.
• as álxebras de incidencia constrúense sobre certos conxuntos parcialmente ordenados.
• álxebras de operadores lineais, por exemplo nun espazo de Hilbert. Aquí a multiplicación de álxebra vén dada pola composición dos operadores. Estas álxebras tamén implican unha topoloxía; moitas delas están definidos nun espazo de Banach subxacente, o que as converte en álxebras de Banach. Se tamén se dá unha involución, obtemos B*-álxebras e C*-álxebras. Estas estúdanse na análise funcional.

Unha álxebra non asociativa ^[3] (ou álxebra distributiva) sobre un corpo K é un K-espazo vectorial A equipado cun K-mapa bilinear ${\displaystyle A\times A\rightarrow A}$. O uso de "non asociativa" aquí pretende transmitir que a asociatividade non se asume, pero non significa que estea prohibida, é dicir, significa "non necesariamente asociativa".

Algúns exemplos son:

• Espazo euclidiano R³ coa multiplicación dada polo produto vectorial
• Octonións
• Álxebras de Lie
• Álxebras de Jordan
• Álxebras alternativas
• Álxebras flexibles
• Álxebras de potencia asociativa

A definición dunha K-álxebra asociativa con unidade tamén se dá frecuentemente dun xeito alternativo. Neste caso, unha álxebra sobre un corpo K é un anel A xunto cun homomorfismo de anel

${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}$

onde Z (A) é o centro de A. Dado que η é un homomorfismo de anel, daquela hai que ter que A é o anel cero ou que η é inxectivo. Esta definición é equivalente á anterior, con multiplicación escalar

${\displaystyle K\times A\to A}$

dada por

${\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}$

Dadas dúas destas K-álxebras unitarias asociativas A e B, un homomorfismo de K-álxebra unitaria f : A → B é un homomorfismo de anel que conmuta coa multiplicación escalar definida por η, que se pode escribir como

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$

para todo ${\displaystyle k\in K}$ e ${\displaystyle a\in A}$. Noutras palabras, o seguinte diagrama conmuta:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}}$

Para álxebras sobre un corpo, a multiplicación bilinear de A × A en A está completamente determinada pola multiplicación dos elementos da base de A. Pola contra, unha vez que se elixiu unha base para A, os produtos dos elementos da base pódense establecer arbitrariamente, e despois estenderse dun xeito único a un operador bilinear en A, é dicir, a multiplicación resultante satisfai as leis da álxebra.

Así, dado o corpo K, calquera álxebra de dimensións finitas pódese especificar ata o isomorfismo dando a súa dimensión (digamos n), e especificando n³ coeficientes da estrutura c_i,j,k, que son escalares. Estes coeficientes da estrutura determinan a multiplicación en A mediante a seguinte regra:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

onde e₁ ,... , e_n forman unha base de A.

Teña en conta, porén, que varios conxuntos diferentes de coeficientes da estrutura poden dar lugar a álxebras isomórficas.

En física matemática, os coeficientes da estrutura son xeralmente escritos con superíndices e subíndices, para distinguir as súas propiedades de transformación baixo transformacións de coordenadas. En concreto, os subíndices son índices covariantes e transfórmanse mediante pullbacks (ou imaxes recíprocas), mentres que os superíndices son contravariantes, transformándose baixo pushforwards (ou imaxe directa). Así, os coeficientes da estrutura adoitan escribirse c_i,j^k, e a súa regra definitoria escríbese usando a notación de Einstein como

e_i e_j = c_i,j^k e_k.

Se aplicas isto a vectores escritos en notación de índice, pasa a ser

(xy)^k = c_i,j^kxⁱy ^j.

Se K é só un anel conmutativo e non un corpo, daquela o mesmo proceso funciona se A é un módulo libre sobre K. Se non o é, daquela a multiplicación aínda está completamente determinada pola súa acción sobre un conxunto que abrangue A; porén, as constantes da estrutura non se poden especificar arbitrariamente neste caso, e coñecer só as constantes da estrutura non especifica a álxebra ata o isomorfismo.

Nalgunhas áreas das matemáticas, como a álxebra conmutativa, é común considerar o concepto máis xeral de álxebra sobre un anel, onde un anel conmutativo R substitúe o corpo K. A única parte da definición que muda é que se asume que A é un R-modulo (en lugar dun espazo vectorial K).

Un anel A é sempre unha álxebra asociativa sobre o seu centro, e sobre os enteiros. Un exemplo clásico de álxebra sobre o seu centro é a álxebra de bicuaternión hiperbólica, que é isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$, o produto directo de dúas álxebras de cuaternións. O centro dese anel é ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, e polo tanto ten a estrutura dunha álxebra sobre o seu centro, que non é un corpo. Teña en conta que a álxebra de bicuaternión dividido tamén é unha ${\displaystyle \mathbb {R} }$-álxebra de 8 dimensións.

• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0. 

• Álxebra de Clifford
• Álxebra diferencial
• Álxebra libre
• Álxebra xeométrica
• Álxebra de operadores
• Lema de Zariski