Distributividade

En matemáticas, e concretamente en álxebra abstracta, a distributividade é a propiedade dos operadores binarios que xeneraliza a propiedade distributiva da álxebra elemental.

A propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma en álxebra elemental é aquela pola que a suma de dous sumandos, multiplicada por un número, é igual á suma do produto de cada sumando por ese número. En termos alxébricos:

${\displaystyle (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a}$

Exemplo: 3(5 + 4) = 3(9) = 27

 (3 × 5) + (3 × 4) = 15 + 12 = 27

Esta propiedade, particularizada para a suma e o produto, pódese xeneralizar a calquera outro par de operacións aritméticas, obtendo deste xeito a definición de distributividade.

Sexa ${\displaystyle A}$ un conxunto dado no que se definiron dúas operacións binarias (${\displaystyle \circ }$ ; ${\displaystyle \star }$). Entón:

• A operación ${\displaystyle \circ }$ é distributiva pola esquerda respecto da operación ${\displaystyle \star }$ se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entón

${\displaystyle a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)}$

• A operación ${\displaystyle \circ }$ é distributiva pola dereita respecto da operación ${\displaystyle \star }$ se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entón

${\displaystyle (b\star c)\circ a=(b\circ a)\star (c\circ a)}$

• A operación ${\displaystyle \circ }$ é distributiva respecto da operación ${\displaystyle \star }$ se é distributiva pola dereita e distributiva pola esquerda, é dicir, se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entón

${\displaystyle a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)}$ e ${\displaystyle (b\star c)\circ a=(b\circ a)\star (c\circ a)}$

Débese notar se a operación ${\displaystyle \circ }$ cumpre a propiedade conmutativa, entón as tres condicións son equivalentes e chega que se cumpra unha calquera delas para que as outras dúas tamén se cumpran automaticamente.

• Propiedade conmutativa
• Propiedade asociativa
• Elemento inverso
• Elemento neutro

• Operaciones binarias Artigo sobre operacións binarias e as súas propiedades. (en castelán)