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Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch, fondateurs de la K-théorie topologique.

En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la K-théorie topologique (en) sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique.

Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc.

Histoire

C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Il a introduit la complétion de la catégorie additive des (classes d'isomorphisme de) faisceaux de groupes abéliens (munie de la somme directe) en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe K(X) d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004.

Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à signaler un problème ouvert^[1] qu'on baptisa malgré lui la « conjecture de Serre » : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs Kⁿ, en utilisant de la théorie homotopique.

Outre les mathématiciens déjà mentionnés, Max Karoubi fait partie des fondateurs de la K-théorie.

Périodicité de Bott

$K (X \times S 2) = K (X) \otimes K (S 2)$ et $K (S 2) = ℤ[H]/(H - 1) 2$ , où $H$ est la classe du fibré en droites tautologique (en) sur $S 2 = ℂP 1$ .
${\tilde {K}}^{n+2}(X)={\tilde {K}}^{n}(X).$
$\Omega ^{2}\mathrm {BU} \simeq \mathrm {BU} \times \mathbb {Z} .$

Catalogue de groupes élémentaires de K-théorie topologique

La K-théorie d'une algèbre de Banach A (unitaire ou pas) et de son unitarisée A¹ sont reliées :

K₀(A¹) = K₀(A) ⊕ ℤ et K₁(A¹) = K₁(A).

La K-théorie de la C*-algèbre des fonctions continues sur un espace compact Y se déduit ainsi de celle de la sous-algèbre des fonctions continues nulles en un point fixé y, autrement dit, de l'algèbre C₀(X) des fonctions continues nulles à l'infini sur le sous-espace localement compact X = Y\{y} (pour Y = Sⁿ, X = ℝⁿ).

On dispose par ailleurs du catalogue suivant^[2] :

$A$	$K_{0}(A)$	$K_{1}(A)$
$\mathbb {K}$	$\mathbb {Z}$	$0$
$\mathbb {B}$	$0$	$0$
$\mathbb {B} /\mathbb {K}$	$0$	$\mathbb {Z}$
$C_{0}(\mathbb {R} ^{2n})$	$\mathbb {Z}$	$0$
$C_{0}(\mathbb {R} ^{2n+1})$	$0$	$\mathbb {Z}$
$A_{\theta }$	$\mathbb {Z} ^{2}$	$\mathbb {Z} ^{2}$
$C_{r}^{*}(F_{n})$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} ^{n}$
${\mathcal {T}}$	$\mathbb {Z}$	$0$
${\mathcal {O}}_{n}$	$\mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z}$	$0$
${\mathcal {O}}_{\infty }$	$\mathbb {Z}$	$0$

où

$\mathbb {K}$ est la C*-algèbre des opérateurs compacts d'un espace de Hilbert non nul (de dimension finie ou infinie) ;
$\mathbb {B}$ est la C*-algèbre des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert de dimension infinie ;
$A_{\theta }$ est le tore non commutatif de dimension 2 associé à un nombre irrationnel $\theta$ ;
$C_{r}^{*}(F_{n})$ est la C*-algèbre réduite (en) du groupe libre $F_{n}$ sur n éléments^[3] ;
${\mathcal {T}}$ est l'algèbre de Toeplitz ;
${\mathcal {O}}_{n}$ et ${\mathcal {O}}_{\infty }$ sont les algèbres de Cuntz (en) engendrées respectivement par n éléments et une infinité d'éléments.

La notion de tore non commutatif se généralise facilement aux dimensions supérieures. Ces tores non commutatifs ont la même K-théorie que leurs analogues commutatifs.

Formule de Künneth pour la K-théorie topologique

Soient A et B deux C*-algèbres avec A dans la classe du^[Quoi ?] théorème des coefficients universels, donc nucléaire (de). Il existe alors une suite exacte courte de groupes abéliens ℤ₂-gradués^[4] :

$0\rightarrow K_{*}(A)\otimes K_{*}(B)\rightarrow K_{*}(A\otimes B)\rightarrow {\rm {Tor}}_{1}^{\mathbb {Z} }(K_{*}(A),K_{*}(B))\rightarrow 0,$

où la première application non triviale est de degré 0 et la seconde de degré 1. Le foncteur Tor permet ainsi d'exprimer l'éventuel défaut de surjectivité du morphisme injectif.

Par exemple, puisque K₀(C(S¹)) = K₁(C(S¹)) = ℤ (sans torsion), l'algèbre C(S¹)^⊗n des fonctions continues sur le tore de dimension n a pour K-théorie : K₀ ⊕ εK₁ = (ℤ ⊕ εℤ)^⊗n (avec ε² = 1), soit ℤ^{2^n–1} ⊕ εℤ^{2^n–1}.

K-théorie et physique

En théorie des cordes, la K-théorie a fourni une bonne description des charges permises de D-branes.

Notes et références

↑ « On ignore s'il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres. » « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, 1955.
↑ Pour d'autres exemples, voir (en) « Examples of K-theory groups », sur PlanetMath et (en) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993.
↑ (en) M. Pimsner et D.-V. Voiculescu, « K-groups of reduced crossed products by free groups », J. Operator Theory, vol. 8, n^o 1,‎ 1982, p. 131-156 (lire en ligne), cor. 3.2.
↑ (en) Bruce Blackadar (de), Operator algebras (ISBN 978-3-540-28486-4, lire en ligne), p. 417, Theorem V.1.5.10.