En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, notée en général ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$.

Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}}$.

Par exemple :

• pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
• pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
• pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}}$,

où ${\displaystyle \Gamma }$ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

	n pair	n impair
${\displaystyle V_{n}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}}$	${\displaystyle 2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}}$

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n	Valeur du volume
	exacte	approchée
1	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$
2	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 3{,}14159}$
3	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }$	${\displaystyle 4{,}18879}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 4{,}93480}$
5	${\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 5{,}26379}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 5{,}16771}$
7	${\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 4{,}72478}$
8	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}}$	${\displaystyle 4{,}05871}$

Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }V_{n}=0}$.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2ⁿ ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit (de côté ${\displaystyle 2/{\sqrt {n}}}$) est croissant en fonction de n.

L'aire de l'hypersphère de dimension n−1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume V_n :

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {\mathrm {d} V_{n}}{\mathrm {d} R}}={\frac {nV_{n}}{R}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$.

${\displaystyle S_{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}}$.

	n pair	n impair
${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle 2^{{\frac {n}{2}}+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdots (n-1)}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}$

La n-sphère unité ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ a donc pour aire :

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}~.}$

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n	Aire de ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
	exacte	approchée
1	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 6{,}28318}$
2	${\displaystyle 4\pi }$	${\displaystyle 12{,}56637}$
3	${\displaystyle 2\pi ^{2}}$	${\displaystyle 19{,}73920}$
4	${\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 26{,}31894}$
5	${\displaystyle \pi ^{3}}$	${\displaystyle 31{,}00627}$
6	${\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 33{,}07336}$
7	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}}$	${\displaystyle 32{,}46969}$

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n = 6. Pour n > 6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0}$.

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