Heinrich Mussinghoff étudie la philosophie et la théologie catholique à l'Université de Münster et Fribourg en Brisgau. Le , il est ordonné diacre. Le , il est ordonné prêtre par Joseph Höffner, évêque de Munster. De 1971 à 1976, il exerce alors la charge de secrétaire de Heinrich Tenhumberg puis obtient son diplôme en théologie, en 1978, grâce à sa thèse sur les tensions entre l'Église et l'État après le Concordat de Prusse.
En 1980, le père Mussinghoff devient membre du chapitre de la cathédrale de Munster. Puis, de 1981 à 1995, après avoir terminé ses études en droit canonique à l'Université grégorienne de Rome, il sert comme chef de bureau à la Cour ecclésiastique à Münster. Enfin, en 1990, il devient doyen de Münster.
À la suite de la mort de Klaus Hemmerle, survenue le , le père Mussinghoff est nommé évêque d'Aix-la-Chapelle, le , par le pape Jean-Paul II. Il est alors consacré évêque le par le cardinal Joachim Meisner, assisté de Reinhard Lettmann et Gerd Dicke. Il choisit comme devise épiscopale « Parate viam Domini » (« Préparez le chemin du Seigneur »).
