Felix Genn grandit à Wassenach près du Lac de Laach. Après avoir obtenu son diplôme en 1969 au Gymnasium Salentin de Andernach, il rejoint le séminaire de Trèves et étudie jusqu'en 1974 la théologie à Ratisbonne. Le , il est ordonné prêtre à Trèves, et devient, en 1978, aumônier à Bad Kreuznach. De 1978 à 1985, il est chancelier du séminaire épiscopal de Trèves. Le , il obtient son doctorat à la Faculté de Théologie de Trèves avec une thèse intitulée Comprendre le ministère de l'Église dans son rapport à la théologie trinitaire chez saint Augustin. Jusqu'en 1994, il est directeur spirituel du séminaire.
De 1994 à 1997, il travaille comme professeur permanent sur la spiritualité chrétienne à la Faculté de théologie de Trèves. En parallèle, il est nommé chef du pèlerinage de Saint-Robe par Hermann Josef Spital(de).
Le , le pape Jean-Paul II le nomme évêque d'Essen. Le , il s'y installe officiellement.
Le , le pape Benoît XVI le nomme, après l'élection par le chapitre de Münster, comme le successeur de Reinhard Lettmann ; l'inauguration solennelle et la possession canonique ont lieu le .
