Το θεώρημα τεμνόμενων χορδών λέει ότι
A
I
⋅ ⋅ -->
I
Γ Γ -->
=
B
I
⋅ ⋅ -->
I
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}}
Στην γεωμετρία , το θεώρημα τεμνόμενων χορδών λέει ότι για δύο χορδές
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}
B
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {B\Delta }}}
κύκλου που τέμνονται στο σημείο
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
[ 1] [ 2] :310 [ 3] :156-157
A
I
⋅ ⋅ -->
I
Γ Γ -->
=
B
I
⋅ ⋅ -->
I
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}}
Το θεώρημα είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου . Το θεώρημα είναι η πρόταση 35 στο Βιβλίο 3 στα Στοιχεία του Ευκλείδη .[ 4]
Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος: Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}
B
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {B\Delta }}}
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
A
I
⋅ ⋅ -->
I
Γ Γ -->
=
B
I
⋅ ⋅ -->
I
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {AI\cdot I\Gamma =BI\cdot I\Delta }}}
A
,
B
,
Γ Γ -->
,
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A,B,\Gamma ,\Delta }}}
[ 3]
Έστω
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
A
B
{\displaystyle {\rm {AB}}}
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
r
{\displaystyle r}
A
I
⋅ ⋅ -->
I
B
=
r
2
− − -->
O
I
2
{\displaystyle {\rm {AI}}\cdot {\rm {IB}}=r^{2}-{\rm {OI}}^{2}}
(Μήκος εσωτερικής διχοτόμου ) Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
εσωτερικής διχοτόμου
δ δ -->
A
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}}
δ δ -->
A
=
β β -->
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
1
− − -->
α α -->
2
(
β β -->
+
γ γ -->
)
2
)
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}}
Απόδειξη
Τα τρίγωνα
A
B
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Delta }}}
A
E
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AE\Gamma }}}
Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
E
{\displaystyle {\rm {E}}}
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}}
Τα τρίγωνα
A
B
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Delta }}}
A
E
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AE\Gamma }}}
B
A
Δ Δ -->
^ ^ -->
=
Γ Γ -->
A
Δ Δ -->
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {\rm {BA\Delta }}}={\widehat {\rm {\Gamma A\Delta }}}}
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}}
A
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}
B
^ ^ -->
=
E
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {E}}}}
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}
A
E
A
B
=
A
Γ Γ -->
A
Δ Δ -->
{\displaystyle {\frac {\rm {AE}}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}\quad }
A
Δ Δ -->
+
Δ Δ -->
E
A
B
=
A
Γ Γ -->
A
Δ Δ -->
{\displaystyle \quad {\frac {\rm {A\Delta +\Delta E}}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}}
Πολλαπλασιάζοντας χιαστί έχουμε ότι
A
Δ Δ -->
2
=
A
B
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
− − -->
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
E
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}^{2}={\rm {AB}}\cdot {\rm {A\Gamma }}-{\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {\Delta E}}}
(1
Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε ότι
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
E
=
B
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {\Delta E}}={\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {\Delta \Gamma }}}
(2
Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι
B
Δ Δ -->
A
B
=
Γ Γ -->
Δ Δ -->
A
Γ Γ -->
=
B
Δ Δ -->
+
Δ Δ -->
Γ Γ -->
A
B
+
A
Γ Γ -->
=
B
Γ Γ -->
A
B
+
A
Γ Γ -->
{\displaystyle {\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {AB}}}={\frac {\rm {\Gamma \Delta }}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta +\Delta \Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}}
Επομένως,
B
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
(
A
B
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
A
B
+
A
Γ Γ -->
)
2
{\displaystyle {\rm {B\Delta }}\cdot {\rm {\Gamma \Delta }}=\left({\frac {\rm {AB\cdot A\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}\right)^{2}}
(3
Συνδυάζοντας, τις (1 2 3
A
Δ Δ -->
2
=
A
B
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
− − -->
(
A
B
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
A
B
+
A
Γ Γ -->
)
2
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}^{2}={\rm {AB}}\cdot {\rm {A\Gamma }}-\left({\frac {\rm {AB\cdot A\Gamma }}{\rm {AB+A\Gamma }}}\right)^{2}}
Τέλος, παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και χρησιμοποιώντας
A
Δ Δ -->
=
δ δ -->
A
{\displaystyle {\rm {A\Delta }}=\delta _{\rm {A}}}
A
Γ Γ -->
=
β β -->
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}=\beta }
A
B
=
γ γ -->
{\displaystyle {\rm {AB}}=\gamma }
δ δ -->
A
=
β β -->
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
1
− − -->
α α -->
2
(
β β -->
+
γ γ -->
)
2
)
{\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}}
◻ ◻ -->
{\displaystyle \square }
↑ Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β' ↑ Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία . Αθήνα. ↑ 3,0 3,1 Κανελλου, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. ↑ Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF) . Σάμος. σελ. 108. ISBN 9786180052046 .
Μέρη Γωνίες Περίμετρος/Εμβαδόν Σχετικές θέσεις
Κύκλοι τριγώνου Κύκλοι τριγώνου Σχετικά πολύγωνα Σχετικά σχήματα
