Στα μαθηματικά , η διαφορά τετραγώνων είναι η αφαίρεση ενός τετραγώνου ενός αριθμού από ένα άλλο τετράγωνο αριθμού. Η διαφορά των τετραγώνων
a
2
{\displaystyle a^{2}}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
παραγοντοποιηθεί ως [ 1] [ 2]
a
2
− − -->
b
2
=
(
a
− − -->
b
)
⋅ ⋅ -->
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)}
Η απόδειξη είναι σχετικά απλή και προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών . Η απόδειξη ισχύει πιο γενικά σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο .
Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι
(
a
− − -->
b
)
⋅ ⋅ -->
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
− − -->
b
a
− − -->
b
2
{\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab-ba-b^{2}}
Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουμε ότι
(
a
− − -->
b
)
⋅ ⋅ -->
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
− − -->
a
b
− − -->
b
2
{\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}}
Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού λαμβάνουμε ότι
(
a
− − -->
b
)
⋅ ⋅ -->
(
a
+
b
)
=
a
2
+
0
− − -->
b
2
{\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+0-b^{2}}
και από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου , καταλήγουμε ότι
(
a
− − -->
b
)
⋅ ⋅ -->
(
a
+
b
)
=
a
2
− − -->
b
2
{\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a^{2}-b^{2}}
Παρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη με χρήση εμβαδών για την περίπτωση που
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
≥ ≥ -->
b
{\displaystyle a\geq b}
Γεωμετρική απόδειξη για την διαφορά τετραγώνων.
Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται για να κάνει τον παρονομαστή ενός κλάσματος ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε το κλάσμα
5
− − -->
2
3
+
1
{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}}
τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και παρονομαστή με
3
− − -->
1
{\displaystyle {\sqrt {3}}-1}
(
5
− − -->
2
)
⋅ ⋅ -->
(
3
− − -->
1
)
(
3
+
1
)
⋅ ⋅ -->
(
3
− − -->
1
)
=
5
3
− − -->
5
− − -->
6
+
+
2
(
3
)
2
− − -->
1
2
=
5
3
− − -->
5
− − -->
6
+
+
2
2
,
{\displaystyle {\frac {(5-{\sqrt {2}})\cdot ({\sqrt {3}}-1)}{({\sqrt {3}}+1)\cdot ({\sqrt {3}}-1)}}={\frac {5{\sqrt {3}}-5-{\sqrt {6}}++{\sqrt {2}}}{({\sqrt {3}})^{2}-1^{2}}}={\frac {5{\sqrt {3}}-5-{\sqrt {6}}++{\sqrt {2}}}{2}},}
το οποίο κλάσμα έχει ρητό παρονομαστή.
Γενικεύοντας το παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών
z
1
=
a
+
i
b
{\displaystyle z_{1}=a+ib}
z
2
=
c
+
i
d
{\displaystyle z_{2}=c+id}
a
+
i
b
c
+
i
d
=
(
a
+
i
b
)
⋅ ⋅ -->
(
c
− − -->
i
d
)
(
c
+
i
d
)
⋅ ⋅ -->
(
c
− − -->
i
d
)
=
a
c
− − -->
i
a
d
+
i
b
c
+
b
d
c
2
+
d
2
=
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
+
i
⋅ ⋅ -->
b
c
− − -->
a
d
c
2
+
d
2
.
{\displaystyle {\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)\cdot (c-id)}{(c+id)\cdot (c-id)}}={\frac {ac-iad+ibc+bd}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+i\cdot {\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}
Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης Φερμά .[ 3] :22-25
↑ Φιλιππίδης, Κ. «Μιγαδικοί αριθμοί» (PDF) . Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023 . ↑ Αργυράκης, Δημήτριος· Βουργάνας, Παναγιώτης· Μεντής, Κωνσταντίνος· Τσικοπούλου, Σταματούλα· Χρυσοβέργης, Μιχαήλ. Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου ↑ Davenport, Harold. The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers (8η έκδοση). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 9780521722360 . 
