Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν αναφέρεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=((x+y)^{2}+y^{2})\cdot ((x-y)^{2}+y^{2})\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}$

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από την Σοφί Ζερμαίν.

Η απόδειξη ξεκινάει συμπληρώνοντας το τετράγωνο

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4y^{4}+4x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2},\end{aligned}}}$

έπειτα συνεχίζει χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων

${\displaystyle {\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)\cdot (x^{2}+2y^{2}+2xy),}$

το οποίο είναι επίσης ίσο με

${\displaystyle {\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=((x-y)^{2}+y^{2})\cdot ((x+y)^{2}+y^{2}).}$

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

• Παραγοντοποίηση
• Συμπληρώνοντας το τετράγωνο
• Διαφορά τετραγώνων