في عام 1959 عينه أخوه الشيخ عبد الله السالم الصباح رئيسًا لدائرة الصحة العامة، وفي تلك الفترة شهدت الكويت الكثير من التقدم في مجال الخدمات الطبية، فقد قبلت عضوًا في منظمة الصحة العالمية وذلك في مايو1960. ومن أعماله أثناء رئاسة الدائرة أصدار قانون يلزم بتسجيل كل مولود جديد وتطعيمه ضد مرض الجدري الذي كان يضرب الكويت من حين إلى آخر كان آخرها في عام 1932 حين توفي 4000 شخص بسبب هذا المرض، كما حارب مرض السل الذي كانت الكويت تعاني منه حيث افتتح مركزًا لعلاجه، وأرسل فريقًا من الأطباء يجوبون البلاد لتوعية الناس عن خطورة المرض. كما افتتح مستشفى الصباح والذي يشغل مساحة 407,000 قدم مربع (124,053 متر مربع) وكلف 3.7 مليون دينار كويتي لبنائه. و بنى مركز الشيخ صباح السالم الصحي في أم الحصم في البحرين. واستمر في منصبه حتى 17 يناير1962 عندما عين وزيرًا للخارجية وذلك في أول تشكيل حكومي في الكويت.
تعترف الجمهورية العراقية باستقلال دولة الكويت وسيادتها التامة بحدودها المبينة بكتاب رئيس وزراء العراق بتاريخ 21 يوليو1932 والذي وافق عليه حاكم الكويت بكتابه المؤرخ 10 أغسطس1932.
تعمل الحكومتان على توطيد العلاقات الأخوية بين البلدين الشقيقين يحدوهم في ذلك الواجب القومي والمصالح المشتركة والتطلع إلى وحدة عربية شاملة.
تعمل الحكومتان على إقامة تعاون ثقافي وتجاري واقتصادي بين البلدين على تبادل المعلومات الفنية بينهما. وتحقيقا لذلك يتم فورًا تبادل التمثيل الدبلوماسي بين البلدين على مستوى السفراء.
أمر برسم خطة لمشروع سكني كبير يسع لـ4000 وحدة سكنية من قبل وزارة الأشغال العامة، ووافق مجلس الأمة على هذا المشروع في 7 أغسطس1965. وكان الهدف من هذا المشروع توفير مساكن للطبقة ذوي الدخل المحدود، وحين أنجز المشروع سميت المنطقة ضاحية صباح السالم على اسمه.
من مقولاته الشهيرة
أنا وشعبي كل بونا جماعة الدين واحد والهدف أخدم الشعب لو ضاق صدر الشعب ما أستر ساعة أضيق من ضيقة وأستر لو حب
المرض والوفاة
توفي في فجر يوم 31 ديسمبر1977 بأزمة قلبية، وكان مرضه ووفاته المفاجئه صدمة للجميع، إلا أن صحته لم تكن على ما يرام حيث بدأت في التدهور منذ عدة سنوات. حيث إنه بعد مؤتمر الخرطوم في نهاية أغسطس1967 غادر الخرطوم إلى باريس لاجراء كشف طبي شامل في المستشفى الأمريكي هناك، حيث كان يشعر بنوع من عدم الراحة، وقد تبين بعد الفحص أنه يعاني من إجهاد في البروستاتا. في نهاية زيارته الرسمية إلى الولايات المتحدة في ديسمبر1968 بقي بزيارة خاصة لإجراء فحص طبي شامل في مستشفى بيثيسدا الطبي. كما إنه غادر الكويت في يوم الأحد 15 أكتوبر1972 وتوجه إلى الولايات المتحدة لإجراء فحص طبي شامل في مستشفى بيثيسدا، وأجرى هناك عملية جراحية بسيطة تمت فيها إزالة كيس مخاطي من الجهة الخلفية للبلعوم، وأعلن الديوان الأميري إنه يحتاج إلى فترة نقاهة تستغرق حوالي 20 يوم. وكان تدهور صحته الكبير في عام 1976، وهي سنة يصفها البعض بأنها سنة مرهقة بالنسبة له، حيث لم يكن في مقدوره اتباع الروتين الذي اعتاد عليه طوال حياته وهي قضاء إجازة في الصيف والنقاهة في جبال لبنان وذلك بسبب اندلاع الحرب الأهلية اللبنانية، وقضى وبدلًا من ذلك إجازة الصيف في منزله الذي كان قد اشتراه في المملكة المتحدة خارج لندن وأسماه «قصر الصباحية»، لكن إجازته كانت أقصر بكثير من المعتاد، واقتصرت على خمسة أسابيع فقط. حيث إنه قطعها وعاد إلى الكويت بسبب التوترات السياسية المتزايدة التي أفضت إلى الأزمة السياسية والتي أدت إلى استقالة الحكومة، وحل مجلس الأمة وتعليق بعض أجزاء الدستور، وتعيين حكومة جديدة. وقد بدأ التوعك في صحته يظهر بشكل عاجل في يوم 11 نوفمبر1976، وأدى إلى مغادرته إلى لندن من أجل الراحة والعلاج الطبي الضروري لفترة كان من المحتمل أن تمتد إلى ثلاثة أسابيع، لكن العلاج وفترة النقاهة اللاحقة امتدت لفترة أطول من ذلك، وتحسنت حالته الصحية وبث تلفزيون الكويت شريطًا تلفزيونيًا مسجلًا كلمته بمناسبة العيد الوطني السادس عشر في يوم الجمعة 25 فبراير1977، كما استقبل في مقر إقامته في «قصر الصباحية» الملك الحسين بن طلال ملك الأردن، وكذلك وزير المالية القطري والسفير السوري، كما إنه قام برحلة خاصة لزيارة الملك خالد بن عبد العزيز آل سعود والذي كان يتعافى من عملية في قدمه أجراها في مستشفى ولينغتون في وسط لندن. وعاد بعد ذلك إلى الكويت في يوم الأربعاء 16 مارس1977، وكان في استقباله حشد ضخم من ألوف المستقبلين في مطار الكويت الدولي، وغادر بعد ذلك بسيارته إلى «قصر المسيلة»، منتصف القامة في سيارته الليموزين المكشوفة التي سارت ببطء. وكان قد تم الكشف عن كل تفاصيل مرضه وعلاجه في مؤتمر صحفي خصص للصحافيين الكويتيين عقده في لندن قبل مغادرته مباشرة، وقال فيه
إنه من الطبيعي أن يكون هناك نقص في المعلومات المتعلقة بموضوع صحتي، لكن هذا الأمر من اختصاص الأطباء الذين يقررون صيغة النشرات الطبية
وذكرت التقارير الطبية أنه استعاد الآن وزنه الطبيعي الذي كان قد تناقص ليصل إلى 52 كيلو غرامًا خلال الأيام الأولى من مرضه نتيجة إصابته بالذبحة الصدرية، والتي اقتضت إدخاله في وحدة العناية المركزة لمدة ثلاثة أيام، وبقاءه مدة 60 يومًا في السرير وفقًا لتعليمات الجراحين، وكان من المفترض أن يخضع إلى عملية جراحية، لكن معنوياته المرتفعة ساعدت جسمه على تقبل العلاج العادي الأمر الذي أدى إلى تأجيل العملية. وبعد عودته غادر الكويت في الإجازة الصيفية في شهر مايو1977 إلى المملكة المتحدة وعاد يوم 2 أكتوبر1977.
وقد توفي في فجر يوم 31 ديسمبر1977 بعد أن استيقظ من النوم بعد شعوره بصعوبة في التنفس، وقال لزوجته الشيخة نورية: أم علي أعتقد إنني بحاجة إلى الطبيب، لدي إحساس بالحرقة في داخلي. وبعدها دخل في غيبوبة وتوفي.
وبعد ظهر السبت 31 ديسمبر1977، نقل جثمانه من «قصر المسيلة» في مسيرة امتلأت فيها الشوارع بمئات الآلاف من أهل الكويت، وصولًا إلى مقبرة الصليبيخات.