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微积分学
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相关数学家 牛顿 莱布尼兹 柯西 魏尔斯特拉斯 黎曼 拉格朗日 欧拉 帕斯卡 海涅 巴罗 波尔查诺 狄利克雷 格林 斯托克斯 若尔当 达布 傅里叶 拉普拉斯 雅各布·伯努利 約翰·白努利 阿达马 麦克劳林 迪尼 沃利斯 费马 达朗贝尔 黑维塞 吉布斯 奥斯特罗格拉德斯基 刘维尔 棣莫弗 格雷果里 玛达瓦（英语：Madhava of Sangamagrama） 婆什迦羅第二 阿涅西 阿基米德
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查 论 编

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

• 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
• 闭区间上周期为${\displaystyle 2\pi }$的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

第一逼近定理可以推广至${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的有界闭集

• 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导^[1][2]。
• 第二逼近定理的证明：

设${\displaystyle f(t)}$为周期为${\displaystyle 2\pi }$的连续函数，定义${\displaystyle f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}}$为一三角级数。 首先证明${\displaystyle \left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }}$，为一个正交函数系：

${\displaystyle \langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)t}\,dt=0}$

${\displaystyle \langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1}$(因为${\displaystyle \left|e^{int}\right|=1}$)。 故令${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}}$，于是我们可以求出${\displaystyle c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt}$。 将${\displaystyle c_{n}}$代入 ${\displaystyle f_{a}(t)}$ 的定义式中，有：

${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds}$。

下面对积分号中的和式S求和，令${\displaystyle w=ae^{i(t-s)}}$，那么就有：${\displaystyle S=...+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+...}$，分成正负两部分求和，可知:

${\displaystyle S=1+W+{\bar {W}}=1+2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}}$ 代回原积分，有${\displaystyle f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds}$，这就是f(s)的泊松积分。其中${\displaystyle p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}}$称为泊松核。故有：

${\displaystyle f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx}$

我们要检验的的是${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|}$在${\displaystyle a\to 1}$时的情况，可以证明：

${\displaystyle \left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx}$

由${\displaystyle f(t)}$的一致连续性，可以证明，上式在${\displaystyle a\to 1}$时，满足一致收敛的条件，故我们可以用${\displaystyle f_{a}(t)}$来一致逼近${\displaystyle f(t)}$。

• 傅里叶级数