航天动力学
航天动力学
軌道根數 拱點 近心點幅角 離心率 傾角 平近點角 軌道交點 半長軸 半短軸 真近點角
按離心率的二體軌道的類型 圓軌道（英语：Circular orbit） 橢圓軌道 轉移軌道（英语：Transfer orbit） (霍曼轉移軌道 雙橢圓轉移軌道) 拋物線軌道 Hyperbolic trajectory（英语：双曲線軌道） Radial orbit 衰变轨道
方程 動態摩擦 宇宙速度 開普勒方程 开普勒定律 轨道周期 轨道速度 表面重力 Specific orbital energy 活力公式
天體力學
重力影響 質心 希爾球 攝動 Sphere of influence
N體軌道 拉格朗日点 (晕轮轨道) 利薩如軌道 李雅普诺夫轨道
工程與效率
飛行前工程 Mass ratio 有效載荷分數（英语：Payload fraction） Propellant mass fraction 火箭方程
效率措施 重力助推 奥伯特效应
查 论 编

半長軸是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。

橢圓

橢圓的方程式是:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

其中(h, k)是笛卡尔坐标系中橢圓的中心，其中任意點由(x, y)給出。

半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離${\displaystyle r_{\text{max}}}$和${\displaystyle r_{\text{min}}}$的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

在天文學中，這些極值點稱為拱點。

一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，會通過中心和兩個焦點，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。

半長軸的長度 ${\displaystyle a\!}$ 與半短軸 ${\displaystyle b\,\!}$ 的關係可以經由離心率${\displaystyle e\,\!}$和半正焦弦${\displaystyle \ell \,\!}$推導如下：

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}$.

${\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}$.

抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但${\displaystyle \ell \,\!}$仍保持不變。因此${\displaystyle a\,\!}$和${\displaystyle b\,\!}$趨於無限大，${\displaystyle a\,\!}$仍比${\displaystyle b\,\!}$長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上，

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}$.

均值由${\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!}$和${\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}$，是 ${\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!}$.

雙曲線（又称半实轴）

雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}$

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致^[1]。

天文學

軌道週期

在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期${\displaystyle T}$，是：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

此處：

${\displaystyle a}$，是軌道的半長軸

${\displaystyle \mu }$是標準重力參數

無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。

在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$，

此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$，

此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

平均距離

經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。

• 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
• 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$。

• 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}$。

橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}$。

時間的平均值與半徑成反比，${\displaystyle r^{-1}\,\!}$，是${\displaystyle a^{-1}\,\!}$。

能量：由狀態向量的半長軸計算

在太空動力學半長軸${\displaystyle a}$，可以從軌道狀態向量得到：

${\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}}$（橢圓軌道）

${\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}}$（雙曲線彈道）

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$（特殊軌道能量）

${\displaystyle \mu =GM}$（標準重力參數）

此處：

• ${\displaystyle v}$，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$，是在笛卡尔坐标系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準），
• ${\displaystyle G}$，是重力常數，
• ${\displaystyle M}$，是中心天體的質量。

對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。

例子

國際太空站的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。

外部連結

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation

參考資料