Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số có thể viết dưới dạng a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } , trong đó a và b là các số thực, ı ı --> {\displaystyle \imath } là đơn vị ảo, với ı ı --> 2 = − − --> 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} hay ı ı --> = − − --> 1 {\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}} .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, do đó một số phức a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực.
Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỉ 16.[2]
Nhà toán học người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của − − --> 1 {\displaystyle -1} .
Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát " a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } " của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu " ı ı --> {\displaystyle \imath } " để chỉ căn bậc hai của − − --> 1 {\displaystyle -1} , năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này.
Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình
không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo ı ı --> {\displaystyle \imath } với ı ı --> 2 = − − --> 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} , vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với ı ı --> 2 = − − --> 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} :
Thực tế không chỉ các phương trình bậc hai mà tất cả các phương trình đại số có hệ số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.
Số phức được biểu diễn dưới dạng a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } , với a và b là các số thực và i {\displaystyle i} là đơn vị ảo, thỏa mãn điều kiện ı ı --> 2 = − − --> 1 {\displaystyle \imath ^{2}=-1} . Ví dụ − − --> 3 , 5 + 2 ı ı --> {\displaystyle -3,5+2\imath } là một số phức.
Số thực a được gọi là phần thực của a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } ; số thực b được gọi là phần ảo của a + b ı ı --> {\displaystyle a+b\imath } . Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó b, không phải bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Ví dụ:
Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là Re --> ( z ) + Im --> ( z ) ⋅ ⋅ --> i {\displaystyle \operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i} . Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.
Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là a + 0 ı ı --> {\displaystyle a+0\imath } với phần ảo là 0. Số thuần ảo b ı ı --> {\displaystyle b\imath } là một số phức được viết là 0 + b ı ı --> {\displaystyle 0+b\imath } với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là a − − --> b ı ı --> {\displaystyle a-b\imath } với b > 0 {\displaystyle b>0} thay vì a + ( − − --> b ) ı ı --> {\displaystyle a+(-b)\imath } , ví dụ 3 − − --> 4 ı ı --> {\displaystyle 3-4\imath } thay vì 3 + ( − − --> 4 ) ı ı --> {\displaystyle 3+(-4)\imath } .
Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là ℂ, C {\displaystyle \mathbf {C} } hay C {\displaystyle \mathbb {C} } . Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề.
Gọi R {\displaystyle \mathbb {R} } là trường số thực. Ký hiệu C {\displaystyle \mathbb {C} } là tập hợp các cặp (a,b) với a , b ∈ ∈ --> R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } .
Trong C {\displaystyle \mathbb {C} } , định nghĩa hai phép cộng và phép nhân như sau:
thì C {\displaystyle \mathbb {C} } là một trường (xem cấu trúc đại số).
Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } vào C {\displaystyle \mathbb {C} } bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp ( a , 0 ) ∈ ∈ --> C {\displaystyle (a,0)\in \mathbb {C} } . Khi đó 0 → → --> ( 0 , 0 ) , 1 → → --> ( 1 , 0 ) , − − --> 1 → → --> ( − − --> 1 , 0 ) {\displaystyle 0\to (0,0),1\to (1,0),-1\to (-1,0)} ... Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } với tập con các số phức dạng ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} , khi đó tập các số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } là tập con của tập các số phức C {\displaystyle \mathbb {C} } và C {\displaystyle \mathbb {C} } được xem là một mở rộng của R {\displaystyle \mathbb {R} } .
Ký hiệu ı ı --> {\displaystyle \imath } là cặp (0,1) ∈ ∈ --> C {\displaystyle \in \mathbb {C} } . Ta có
ı ı --> 2 = ( 0 , 1 ) × × --> ( 0 , 1 ) = ( − − --> 1 , 0 ) = − − --> 1 {\displaystyle \imath ^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1} .
Tất cả các số phức dạng b ı ı --> {\displaystyle b\imath } được gọi là các số thuần ảo.
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo ı ı --> {\displaystyle \imath } đặc trưng bởi biểu thức
Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i 2 = − − --> 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Như vậy, ta có:
Trong hệ toạ độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức
Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.
Mỗi số thực a {\displaystyle a} được xem là một số phức có b = 0 {\displaystyle b=0} .
Ta có: R {\displaystyle \mathbb {R} } ⊂ ⊂ --> {\displaystyle \subset } C {\displaystyle \mathbb {C} }
Nếu a = 0 {\displaystyle a=0} , số phức b i {\displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.
Cho số phức dưới dạng đại số Z = a + b i {\displaystyle Z=a+bi\,} , số phức Z ¯ ¯ --> = a − − --> b i {\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi} được gọi là số phức liên hợp của z.
Một số tính chất của số phức liên hợp:
arg --> ( z 1 ∗ ∗ --> z 2 ) = arg --> ( z 1 ) + arg --> ( z 2 ) , {\displaystyle \arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),}
Số phức z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} có thể viết dưới dạng
Khi đặt
ta có
Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z {\displaystyle z} .
Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
Khi đó
Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
trong đó ψ ψ --> k = φ φ --> + k 2 π π --> n {\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}} , k = 0 , 1 , . . . n − − --> 1 {\displaystyle k=0,1,...n-1}
Поллі ВокерІм'я при народженні англ. Polly Alexandra WalkerНародилася 19 травня 1966(1966-05-19)[4] (57 років)Воррінгтон, Воррінгтон, Чешир, Англія, Велика БританіяГромадянство Велика БританіяДіяльність танцюристка, акторка театру, кіноакторкаAlma mater Драматичний центр Лондонаd і&…
Cet article concerne l'une des deux communes homonymes dans la Nièvre. Pour l'autre commune homonyme nivernaise, voir Beaumont-la-Ferrière. Pour les autres articles homonymes, voir Beaumont. Beaumont-Sardolles Administration Pays France Région Bourgogne-Franche-Comté Département Nièvre Arrondissement Nevers Intercommunalité Communauté de communes Amognes Cœur du Nivernais Maire Mandat Éric Compot 2020-2026 Code postal 58270 Code commune 58028 Démographie Gentilé Beaumont-Sardollo…
Terrorist acts by groups individuals who profess Islamic motivations or goals This article may be too long to read and navigate comfortably. Its current readable prose size is 116 kilobytes. Please consider splitting content into sub-articles, condensing it, or adding subheadings. Please discuss this issue on the article's talk page. (May 2023) Part of a series onTerrorism Definitions History Incidents By ideology Anarchist Communist Left-wing/Far-left Narcotics-driven Nationalist Right-wing/Far…
بارانجي جينبرا سان ميغيل معلومات النادي الدوري الرابطة الفلبينية لكرة السلة البلد الفلبين تأسس عام 1979 ألوان الفريق أحمر، أسود ، أبيض المدرب تيم كون البطولات أطقم الفريق الطقم الأساسي الطقم الاحتياطي تعديل مصدري - تعديل بارانجي جينبر…
Shosei KodaShosei Koda tak lama sebelum pemenggalannyaLahir(1979-11-29)29 November 1979Nōgata, Fukuoka, JepangMeninggal29 Oktober 2004(2004-10-29) (umur 24)IrakSebab meninggalPemenggalanOrang tuaSetsuko KodaMasumi Koda Shosei Koda (香田 証生code: ja is deprecated , Kōda Shōsei, 29 November 1979 – 29 Oktober 2004) adalah seorang warga sipil Jepang yang diculik dan kemudian dipenggal di Irak pada 29 Oktober 2004, oleh kelompok Zarqawi, ketika berkunjung ke negara tersebut. Ia me…
Mother of English musician John Lennon (1914–1958) This article is about John Lennon's mother. For his sister, see Julia Baird (teacher). Julia LennonLennon in 1949BornJulia Stanley(1914-03-12)12 March 1914Toxteth, Liverpool, EnglandDied15 July 1958(1958-07-15) (aged 44)Woolton, Liverpool, EnglandOccupation(s)Waitress, housewifeSpouse Alfred Lennon (m. 1938)PartnerJohn Bobby Dykins (1945–1958)Children4, including John Lennon and Julia BairdRelativesMimi Sm…
Oppenheim Entidad subnacional Escudo OppenheimLocalización de Oppenheim en Renania-Palatinado OppenheimLocalización de Oppenheim en Alemania Coordenadas 49°51′20″N 8°21′37″E / 49.855555555556, 8.3602777777778Entidad Municipio urbano de Alemania • País AlemaniaSuperficie • Total 7,1 km² Altitud • Media 87 m s. n. m.Población (31 de diciembre de 2022) • Total 7560 hab. • Densidad 1064,79 hab…
Das Handbuch der Altertumswissenschaft (rechts und Mitte unten) neben den Ausgaben von Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft Das Handbuch der Altertumswissenschaft (HdA, auch HdAW, HbAW oder HAW) ist eine Fachbuchreihe zu Themen des Altertums und der Altertumswissenschaften. In ihr erscheinen in unregelmäßigen Abständen Handbücher zu Einzelthemen der altorientalischen und antiken Geschichte und Kultur. Begründet wurde das Werk als Handbuch der klassischen Altertums-…
Railway station in Homburg, Germany Homburg (Saar) HauptbahnhofThrough stationPanorama of station building and trackGeneral informationLocationBahnhofsplatz 5, Homburg (Saar), SaarlandGermanyCoordinates49°19′40″N 7°20′13″E / 49.32778°N 7.33694°E / 49.32778; 7.33694Owned byDB NetzOperated byDB Station&ServiceLine(s) Palatine Ludwig Railway (KBS 670) Homburg–Neunkirchen (KBS 683) Glan Valley Railway, closed Blies Valley Railway, closed Platforms7Other info…
Soundtracks for the 2013–19 Cartoon Network television series The following are the list of soundtracks for the animated television series Steven Universe created by Rebecca Sugar for Cartoon Network. Sugar also wrote the songs and musical numbers for the series, which are produced by the musician duo Aivi & Surasshu and jointly composed the title and ending themes for the series. The original soundtrack for the series, featuring a collection of songs were released in two volumes: Vol.1, f…
Cultural heritage monument in Braga, Portugal Roman Thermae of MaximinusAlternative nameAlto da CividadeLocationBraga, Cávado, Norte, PortugalCoordinates41°32′46.64″N 8°25′46.52″W / 41.5462889°N 8.4295889°W / 41.5462889; -8.4295889Altitude175 m (574 ft)TypeRoman ThermaeLength35.00 m (114.83 ft)Width31.00 m (101.71 ft)Site notesArchaeologistsunknownOwnershipPortuguese RepublicPublic accessPublic Colina de Maximinos, Rua …
Since the early 1970s, Brittany has experienced a tremendous revival of its folk music. Along with flourishing traditional forms such as the bombard-biniou pair and fest-noz ensembles incorporating other additional instruments, it has also branched out into numerous subgenres. Traditional Breton music The Goadec sisters Traditional Breton folk music includes a variety of vocal and instrumental styles. Purely traditional musicians became the heroes of the roots revival in the second half of the 2…
This article is about the theosophical publication. For the anarchist journal, see Lucifer the Lightbearer. Cover of the magazine Lucifer You can help expand this article with text translated from the corresponding article in German. (May 2015) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the German article. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as nece…
Governor of a Turkish Province Governor of BursaBursa ValiliğiLogo of the Governor of BursaIncumbentYakup Canbolatsince November 7, 2018AppointerPresident of TurkeyOn the recommendation of the Turkish governmentTerm lengthNo set term length or limitInaugural holderAhmet Vefik Paşa1877WebsiteOffice of the Governor Map of the Province of Bursa, showing the provincial districts. The governor of Bursa (Turkish: Bursa Valiliği) is the bureaucratic state official responsible for both national …
2023 Czech filmElectraDirected byDaria KashcheevaWritten byDaria KashcheevaProduced byZuzana KřivkováMartin VandasStarringZuzana ČástkováMarie VernerZuzana Stivínová [cs]Robert Jašków [cs]CinematographyTomáš FrkalEdited byAlexander KashcheevMusic byLucas VerremanProductioncompaniesMAUR filmFAMU InternationalPapy3D ProductionsArtichoke Film ProductionDistributed byArteRelease date 24 May 2023 (2023-05-24) (Cannes) Running time27 minutesCount…
This article is about the cultural diversity of Tripura. For tribal traditions in Tripura, see Tripuri culture. Children in Tripura prepare for a traditional dance. Tripura girls in their traditional attire Tripuri couple in traditional dress A Tripuri girl in 'Rigwnai' and 'Risa' The culture of Tripura is distinct and a bit similar to other people of Northeast India. However like Assam, Manipur, Burma and Southeast Asia culture of Tripura is characterized in small portion where people live in p…
Town in North Carolina, United StatesSurf City, North CarolinaTownSurf City Ocean Pier FlagSealMotto(s): Big enough to be competitive, small enough to be happy!Coordinates: 34°25′44″N 77°33′26″W / 34.42889°N 77.55722°W / 34.42889; -77.55722CountryUnited StatesStateNorth CarolinaCountiesPender, OnslowIncorporated (town)1949Government • TypeMunicipality • MayorTeresa B. Batts • Council List of Councilmen Teresa B. BattsDo…
Portret van Sophie van Saksen-Coburg-Saalfeld, 1834. Sophie Frederika Carolina Louise van Saksen-Coburg-Saalfeld (Coburg, 16 augustus 1778 - Tuschimitz, 9 juli 1835) was prinses van Saksen-Coburg-Saalfeld. Ze behoorde tot het huis Saksen-Coburg-Saalfeld, een zijtak van het huis Wettin. Levensloop Sophie was de oudste dochter van hertog Frans van Saksen-Coburg-Saalfeld uit diens huwelijk met Augusta van Reuss-Ebersdorf en Lobenstein, dochter van graaf Hendrik XXIV van Reuss-Ebersdorf. Ze was een …
Canadian actor This biography of a living person needs additional citations for verification, as it includes attribution to IMDb. IMDb may not be a reliable source for biographical information. Please help by adding additional, reliable sources for verification. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately, especially if potentially libelous or harmful. (December 2010) (Learn how and when to remove this template message) Mark HildrethH…
Public school in the United StatesNorwayne High SchoolNorwayne High School and Middle School ComplexLocation350 S. Main StreetCreston, Ohio 44217United StatesCoordinates40°57′55″N 81°54′04″W / 40.965272°N 81.901056°W / 40.965272; -81.901056InformationTypePublicEstablished1953School districtNorwayne Local School DistrictPrincipalDoug ZimmerlyFaculty21.14 (on FTE basis)[1]Grades9 to 12Enrollment431 (2018-19)[1]Student to teacher ratio20.39[1&…
Lokasi Pengunjung: 18.217.8.171