Giải tích phức

Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức (các ánh xạ giữa C^n và C^m). Khoảng hơn 50 năm trước, dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứu các ánh xạ giữa các không gian vector topo phức vô hạn chiều, đặc biệt là các không gian định chuẩn. Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết sốtoán ứng dụng.

Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giải tích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình. Vì phần thựcphần ảo của một hàm giải tích một biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều.

Hàm một biến phức

Hàm phức là một hàm trong đó đối sốhàm số nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Ω là tập con của mặt phẳng phứctập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức.

Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và phần ảo:

trong đó là các hàm thực.

Nói cách khác, các thành phần của hàm f(z),

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực, xy.

Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được giới thiệu bằng cách mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ hàm mũ, hàm lô ga rít

và các hàm lượng giác) lên miền phức.

Đạo hàm và phương trình Cauchy-Riemann

Như trong giải tích thực, một hàm phức "trơn" w = f(z) có thể có đạo hàm tại một điểm nào đó trong miền xác định Ω. Thực tế định nghĩa đạo hàm

tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan trọng: Trong giải tích thực, giới hạn chỉ có thể có bằng việc di chuyển trên đường thẳng thực một chiều. Trong giải tích phức, giới hạn có được bằng cách di chuyển theo hướng bất kì trên mặt phẳng phức hai chiều.

Nếu giới hạn này tồn tại với mọi điểm z trong Ω, khi đó f(z) được gọi là khả vi trên Ω. Có thể chứng minh rằng mọi hàm khả vi f(z) đều là hàm giải tích. Đây là kết quả mạnh hơn trường hợp hàm thực. Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm. Tuy nhiên trên mặt phẳng phức, chỉ cần f(z) khả vi bậc một trong một lân cận thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó.

Bằng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc tơ để tính đạo hàm riêng của hai hàm vec tơ u(x, y) và v(x, y) vào cho hàm f(z), và xem xét hai đường đến z trong Ω, có thể chỉ ra rằng đạo hàm tồn tại nếu và chỉ nếu

Đồng nhất phần thực và phần ảo của biểu thức ta có phương trình Cauchy-Riemann:

hoặc ký hiệu khác,

Vi phân hệ hai phương trình đạo hàm riêng này, đầu tiên theo x, sau đó theo y ta dễ dàng chỉ ra rằng

hoặc dưới dạng ký hiệu khác,

Nói cách khác, phần thực và phần ảo của một hàm phức khả vi là các hàm điều hòa vì chúng thỏa mãn phương trình Laplace.

Lịch sử

Tập Mandelbrot, ví dụ phổ biến nhất về fractal.

Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở thế kỷ 20. Giải tích phức, đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác, có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lực phứcfractal. Ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức là trong lý thuyết dây.

Xem thêm

Tham khảo

Sách tham khảo

  • Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
  • Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
  • Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
  • Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
  • Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2011).
  • Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
  • Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
  • Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
  • Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
  • Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
  • Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
  • Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables - with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
  • Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003)

Read other articles:

وسام النجم القطبي الملكي السويديمعلومات عامةالبداية 1748 الاسم الأصل Nordstjärneorden (بالسويدية) سُمِّي باسم الجدي البلد السويد الرتبة الأعلى التالية نيشان السيف الرتبة الأدنى التالية Royal Order of Vasa (en) موقع التأسيس ستوكهولم لديه جزء أو أجزاء وسام النجم القطبي - قائد الصليب الأكبرOrder...

 

 

Italian footballer (born 1989) Antonio Mazzotta Personal informationFull name Antonio Mazzotta[1]Date of birth (1989-08-02) 2 August 1989 (age 34)Place of birth Palermo, ItalyHeight 1.83 m (6 ft 0 in)[2]Position(s) Left backTeam informationCurrent team CataniaNumber 11Youth career0000–2005 Fortitudo Golden Boys2005–2006 Kamarat2006–2009 PalermoSenior career*Years Team Apps (Gls)2009–2011 Lecce 20 (0)2010–2011 → Pescara (loan) 12 (0)2011–2014 C...

 

 

National coat of arms of the Slovak RepublicCoat of arms of SlovakiaVersionsThe banner of arms, which serves as presidential standard ArmigerSlovak RepublicAdopted1 March 1990 (13 June 1919)ShieldGules, a mount of three peaks Azure, issuant therefrom a double cross Argent The coat of arms of the Slovak Republic consists of a red (gules) shield, in early Gothic style, charged with a silver (argent) double cross standing on the middle peak of a dark blue mountain consisting of three peaks. Extr...

Sebagian moda transportasi umum di Kota Bandung. Dari kiri atas searah jarum jam, kereta api lokal Bandung Raya, angkutan kota, dan Trans Metro Bandung. Kota Bandung merupakan salah satu kota besar di Indonesia. Di Kota Bandung sendiri, terdapat beberapa moda transportasi umum yang melayani trayek baik di dalam kota, maupun lintas kota sekitar wilayah Bandung Raya. Moda transportasi tersebut dilayani oleh Trans Metro Pasundan (Teman Bus), Trans Metro Bandung (TMB), Trans Bandung Raya (DAMRI),...

 

 

2nd governor-general of Jamaica The Most HonourableSir Clifford CampbellON GCMG GCVO KStJ2nd Governor-General of JamaicaIn office1 December 1962 – 28 February 1973MonarchElizabeth IIPrime Minister Alexander Bustamante Donald Sangster Hugh Shearer Preceded byKenneth BlackburneSucceeded byHerbert Duffus (acting) Personal detailsBornClifford Clarence Campbell(1892-06-28)28 June 1892Petersfield, JamaicaDied28 September 1991(1991-09-28) (aged 99)Political partyJamaica L...

 

 

Запрос «Пугачёва» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Алла Пугачёва На фестивале «Славянский базар в Витебске», 2016 год Основная информация Полное имя Алла Борисовна Пугачёва Дата рождения 15 апреля 1949(1949-04-15) (75 лет) Место рождения Москва, СССР[1]...

Ираклеониты — ученики гностика Ираклеона (II век). Упоминаются как особая секта Епифанием и Августином; при крещении и миропомазании они соблюдали обряд помазания елеем и при этом произносили воззвания на арамейском языке, которые должны были освободить душу от власт�...

 

 

Chemical compound found in oil of lemon eucalyptus p-Menthane-3,8-diol Names Preferred IUPAC name 2-(2-Hydroxypropan-2-yl)-5-methylcyclohexan-1-ol Other names 2-(1-Hydroxy-1-methylethyl)-5-methylcyclohexanolpara-Menthane-3,8-diol2-Hydroxy-α,α,4-trimethylcyclohexanemethanol Identifiers CAS Number 42822-86-6 Y 3D model (JSmol) Interactive image Beilstein Reference 2552262 ChEBI CHEBI:48250 Y ChEMBL ChEMBL3120644 ChemSpider 484204 Y ECHA InfoCard 100.050.849 EC Number 255–9537...

 

 

Keuskupan NeuquénDioecesis NeuquenianusDiócesis de NeuquénKatolik Katedral Maria Penolong Umat KristenLokasiNegaraArgentinaProvinsi gerejawiMendozaStatistikLuas94.078 km2 (36.324 sq mi)Populasi- Total- Katolik(per 2004)494.358435,035 (88%)Paroki53InformasiDenominasiKatolik RomaRitusRitus RomaPendirian10 April 1961 (63 tahun lalu)KatedralKatedral Bunda Penolong Umat Kristen di NeuquénPelindungSt Fransiskus de SalesMaria Penolong Umat KristenKepemimpinan k...

نهر سان خوان (نيكاراغوا) نهر سان خوان (نيكاراغوا) المنطقة البلد نيكاراغوا  الخصائص الطول 180 كم (110 ميل) المجرى المنبع الرئيسي بحيرة نيكاراغوا المصب البحر الكاريبي  مساحة الحوض 35000 كيلومتر مربع  الجغرافيا دول الحوض نيكاراغوا، كوستاريكا بحيرات على النهر بحيرة نيكار�...

 

 

Ne doit pas être confondu avec Académie royale des sciences de l'ingénieur de Suède. Cet article est une ébauche concernant la Suède et l’éducation. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Académie royale des sciences de SuèdeBâtiment principal de l'Académie royale des sciences de Suède. För efterkommande(pour la postérité)HistoireFondation 2 juin 1739CadreType Académie des sciences, Ac...

 

 

Conseil de sécurité des Nations unies La salle du conseil. Organe de l'ONU Type d'organisation Organe principal Acronymes CS Chef Présidence tournante sous-Chef Statut Actif Membres Siège New York (États-Unis) Création 17 janvier 1946 à Church House, Londres Site web http://www.un.org/french/docs/cs/ Organisation parente Organisation des Nations unies modifier  Les résolutions du Conseil de sécurité des Nations unies sont les décisions qui sont votées par le Conseil de sécu...

Dayton, Ohio—  Thành phố  —City of Dayton Hiệu kỳẤn chươngTên hiệu: The Gem City (Thành phố Ngọc)Khẩu hiệu: Birthplace of Aviation (Nơi sinh của Hàng không)Vị trí tại Quận Montgomery và tiểu bang Ohio.Dayton, OhioQuốc giaHoa KỳTiểu bangOhioQuậnMontgomeryThành lập1796 1805 (thành phố)Đặt tên theoJonathan Dayton Chính quyền • KiểuChính quyền hội �...

 

 

Questa voce sull'argomento centri abitati del Trentino-Alto Adige è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Campitello di Fassacomune(IT) Campitello di Fassa(LLD) Ciampedel Campitello di Fassa – Veduta LocalizzazioneStato Italia Regione Trentino-Alto Adige Provincia Trento AmministrazioneSindacoIvo Bernard (lista civica Ciampedel per sia Jent) dal 21-9-2020 Lingue ufficialiLadino, italiano Data di istituzione4-11-1956 ...

 

 

; [Semicolon]Album mini karya SeventeenDirilis19 Oktober 2020 (2020-10-19)GenreK-popLabel Pledis Dreamus Produser Bumzu Nmore Poptime Seungkwan Anchor Ohway! Woozi Park Ki-tae Kronologi Seventeen 24H(2020) ; [Semicolon](2020) Your Choice(2021) Singel dalam album Semicolon Home;RunDirilis: 19 Oktober 2020 Semicolon (ditulis sebagai ; [Semicolon]) adalah album mini spesial dari grup vokal pria asal Korea Selatan Seventeen. Album ini dirilis melalui Pledis Entertainment pada tanggal 19 ...

Massimo MutarelliNazionalità Italia Altezza178 cm Peso74 kg Calcio RuoloAllenatore (ex centrocampista) Termine carriera1º luglio 2013 - giocatore CarrieraGiovanili 1994-1998 Atalanta Squadre di club1 1995-1997 Atalanta5 (0)1997-2002 Genoa138 (8)2002-2006 Palermo116 (5)2006-2008 Lazio48 (6)2009-2011 Bologna33 (1)2012 Atalanta1 (0) Nazionale 1995 Italia U-177 (1)1995-1996 Italia U-1817 (1)1998 Italia U-211 (0) Carriera da allenatore 2014-2015 Empol...

 

 

Scottish journalist and biographer John Rae (1845 – 1915) was a Scottish journalist and biographer. The long-time editor of The Contemporary Review, and contributor to The British Quarterly Review, he became famous for his 1895 biography of Adam Smith, Life of Adam Smith, which replaced the Biographical Memoir of Adam Smith of 1811, by Dugald Stewart, as the standard Smith reference.[1] Bibliography Contemporary Socialism (1884; and new editions 1891, 1901, 1908) 'The Eight Hour...

 

 

Présidence d'Édouard Fritch 16e17e président de la Polynésie française Présidence de Gaston Flosse Présidence de Moetai Brotherson Édouard Fritch, président de la Polynésie française. Type Type Président de la Polynésie française Résidence officielle Palais présidentiel de la Polynésie française, Papeete Élection Système électoral Représentants polynésiens Mode de scrutin Suffrage universel indirect Élection 12 septembre 201418 mai 2018 Début du mandat 13 septembre 2...

Pour les articles homonymes, voir Quinze-Janvier. Éphémérides Janvier 1er 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31         15 décembre 15 février Chronologies thématiques Croisades Ferroviaires Sports Disney Anarchisme Catholicisme Abréviations / Voir aussi (° 1852) = né en 1852 († 1885) = mort en 1885 a.s. = calendrier julien n.s. = calendrier grégorien Calendrier Calendrier perpétuel Liste de calendriers Naissances d...

 

 

Czech motorway This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: D2 motorway Czech Republic – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2024) (Learn how and when to remove this message) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Czech. Click [show] ...