Công thức Faà di Bruno

Trong toán học, công thức Faà di Bruno là một đẳng thức tổng quát quy tắc dây chuyền cho đạo hàm cấp cao, đặt tên theo Francesco Faà di Bruno (1855, 1857), mặc dù ông không phải người đầu tiên phát biểu hay chứng minh nó. Năm 1800, hơn 50 trước Faà di Bruno, nhà toán học Pháp Louis François Antoine Arbogast đưa ra công thức này trong một quyển sách giải tích,[1] được coi là tác phẩm đầu tiên nhắc đến công thức này.[2]

Dạng phổ biến nhất của công thức Faà di Bruno nói rằng:

trong đó tổng này lấy trên tất cả bộ n số nguyên không âm (m1,..., mn) thỏa mãn điều kiện

Một biểu diễn khác cho tổng này với cùng các bộ hệ số như trên là:

Kết hợp những số hạng với cùng giá trị m1 + m2 +... + mn = k và để ý rằng mj phải bằng không với j > nk + 1 cho ta một công thức khác đơn giản hơn sử dụng đa thức Bell Bn,k(x1,..., xnk+1):

Dạng tổ hợp

Công thức này có một dạng "tổ hợp":

trong đó

  • π chạy qua tập Π tất cả các phân hoạch của tập hợp {1,..., n},
  • Bπ tức là ẩn B chạy qua các tập con trong phân hoạch π, và
  • | A | chỉ lực lượng của tập A (do đó |π| là số tập trong phân hoạch π| B | là kích thước của tập B).

Ví dụ

Sau đây là một ví dụ cụ thể cho dạng tổ hợp trong trường hợp n = 4.

Quy luật ở đây là

Nhân tử tương ứng với phân hoạch 2 + 1 + 1 của số 4 (4 là cấp của đạo hàm đang xét). Nhân tử đi cùng với nó tương ứng với việc có ba số hạng trong phân hoạch đó, do đó ta lấy đạo hàm bậc ba. Hệ số 6 là do có sáu cách phân hoạch một tập có bốn phần tử thành một phần có 2 phần tử và hai phần có 1 phần tử; con số này là

Tương tự, nhân tử ở dòng thứ ba tương ứng với phân hoạch 2 + 2 của số 4, còn tương ứng với việc có hai số hạng (2 + 2) trong phân hoạch đó. Hệ số 3 xuất phát từ việc có cách phân hoạch 4 vật thành hai nhóm chứa 2 vật mỗi nhóm. Tương tự với những hạng tử còn lại.

Một cách để nhớ như sau:

Hệ số Faà di Bruno

Những hệ số Faà di Bruno đếm số phân hoạch này có một công thức cụ thể hơn. Số phân hoạch của một tập hợp với kích thước n tương ứng với phân hoạch số nguyên

của số nguyên dương n bằng

Những hệ số này cũng xuất hiện trong đa thức Bell, liên quan đến khái niệm nửa bất biến.

Dạng khác

Dạng nhiều biến

Cho hàm y = g(x1,..., xn). Khi ấy đẳng thức sau đây là đúng dù là n biến này phân biệt, giống nhau, hay chia thành các nhóm biến giống nhau (xem ví dụ cụ thể bên dưới):[3]

trong đó (giống như trên)

  • π chạy qua tập Π tất cả các phân hoạch của tập hợp {1,..., n},
  • Bπ tức là ẩn B chạy qua các tập con trong phân hoạch π, và
  • | A | chỉ lực lượng của tập A (do đó |π| là số tập trong phân hoạch π| B | là kích thước của tập B).

Những dạng tổng quát hơn đúng cho trường hợp khi các hàm có giá trị vectơ, thậm chí là giá trị trong không gian Banach. Khi ấy ta cần xét đạo hàm Fréchet hoặc đạo hàm Gateaux.

Ví dụ

Năm hạng tử trong biểu thức sau tương ứng với năm cách phân hoạch tập {1, 2, 3} , và với mỗi phân hoạch, cấp của đạo hàm của f là số phần trong phân hoạch đó:

Nếu ba biến này giống hệt nhau, thì ba trong năm hạng tử ở trên cũng giống nhau, cho ta công thức thông thường cho một biến.

Ghi chú

  1. ^ (Arbogast 1800).
  2. ^ Theo Craik (2005, tr. 120–122): xem phân tích công trình của Arbogast bởi Johnson (2002, tr. 230).
  3. ^ Hardy, Michael (2006). “Combinatorics of Partial Derivatives”. Electronic Journal of Combinatorics. 13 (1): R1.

Tham khảo

Khảo sát lịch sử

Nghiên cứu

Liên kết ngoài

Read other articles:

LiaInformasi latar belakangLahir20 DesemberGenreJ-pop, trance, techno, Happy hardcore, New AgePekerjaanPenyanyi, Penulis laguTahun aktif2001 – sekarangLabel2001-2003 I've Sound 2001 - sekarang Key Sounds Label 2004 - sekarang queens label2005 Dex Entertainment 2006 Marvelous EntertainmentSitus webLia Lia (lahir pada 20 Desember)[1] adalah wanita penyanyi dan pencipta lagu asal Jepang mantan anggota I've Sound. Lia telah menghasilkan tiga buah album dengan aliran musik happy hardcore...

 

Tiga aloalo antik Aloalo adalah pahatan tongkat pemakaman yang, bersama dengan tengkorak zebu yang disembelih, ditempatkan di makam orang penting di kawasan barat daya Madagaskar. Pos-pos ukiran tersebut sering kali menceritakan kisah kehidupan orang tersebut dan umumnya mengambil bentuk serangkaian bentuk geometrik dan simbolik yang ditempatkan figur ukiran atau objek evokatif dari kehidupan almarhum pada bagian atas. Mereka biasanya diasosiasikan dengan suku Mahafaly,[1] meskipun me...

 

Sepeda motor di Perak, Malaysia. Angkutan Jalan adalah kendaraan yang diperbolehkan untuk menggunakan jalan, menurut Peraturan Pemerintah Nomor 44 Tahun 1993 tentang Kendaraan dan Pengemudi disebutkan: Sepeda Motor adalah kendaraan bermotor beroda 2 (dua), atau 3 (tiga) tanpa rumah-rumah baik dengan atau tanpa kereta samping. Mobil Penumpang adalah setiap kendaraan bermotor yang dilengkapi sebanyak-banyaknya 8 (delapan) tempat duduk tidak termasuk tempat duduk pengemudi, baik dengan maupun ta...

Ini adalah nama Maluku Tenggara Kei, marganya adalah Refra Athanasius Allo Refra,S.H., M.Si. adalah Penjabat Bupati Mimika Periode 2007- 2008[1] Athanasius Allo RafraS.H., M.Si. Penjabat Bupati MimikaMasa jabatan19 Februari 2007 – 4 Desember 2008PresidenSusilo Bambang YudhoyonoGubernurBarnabas Suebu PenggantiKlemen TinalPelaksana Harian Bupati MimikaMasa jabatan14 Desember 2006 – 19 Desember 2007PresidenSusilo Bambang YudhoyonoGubernurBarnabas Suebu PendahuluKlem...

 

2020 novel by Don DeLillo For other novels with a similar title, see Silence (disambiguation). The Silence First edition coverAuthorDon DeLilloAudio read byLaurie Anderson, Jeremy Bobb, Marin Ireland, Robin Miles, Jay O. Sanders and Michael StuhlbargCountryUnited StatesLanguageEnglishPublisherScribnerPublication dateOctober 20, 2020Media typePrint (hardcover), e-book, audioPages128ISBN978-1-9821-6455-3 (hardcover)Preceded byZero K  The Silence is a short novel by Don ...

 

Templat:GBmap Stratford-upon-Avon Stratford-upon-Avon adalah sebuah kota yang terletak di sungai Avon, sebelah selatan Warwickshire, Inggris. Stratford paling terkenal sebagai kota kelahiran William Shakespeare. Kota ini juga adalah pusat administratif dari Stratford-on-Avon District. Pada 2001 kota ini memiliki penduduk sebanyak 23.676 jiwa. Industri Karena hubungannya dengan Shakespeare, Stratford adalah tujuan pariwisata terkenal, dan menerima sekitar 500.000 pengunjung setiap tahun dari s...

Hogu's LovePoster promosi untuk Hogu's LoveGenreRoman, KomediBerdasarkanHogu's Loveoleh Yoo Hyun-sookDitulis olehYoon Nan-joongSutradaraPyo Min-sooPemeranChoi Woo-shik Uee Lim Seulong Lee Soo-kyungLagu pembukaKangaroo oleh Linus' Blanket[1]Negara asalKorea SelatanBahasa asliKoreaJmlh. episode16ProduksiLokasi produksiKorea SelatanDurasi60 menit Senin dan Selasa pukul 23:00 (WSK)Rilis asliJaringantvNRilis9 Februari (2015-02-09) –31 Maret 2015 (2015-3-31) Hogu's Lov...

 

Indian television series Tere Sheher MeinGenreDramaStory bySonali Jaffer Gaurav SharmaDirected byPradeep GuptaStarringHiba Nawab Dhruv Bhandari Rafi MalikMusic byParesh ShahCountry of originIndiaOriginal languageHindiNo. of seasons1No. of episodes222ProductionProducerRajan ShahiProduction locationsMumbai Paris VaranasiEditorSameer GandhiRunning time22 minutesProduction companyDirector's Kut ProductionsOriginal releaseNetworkStar PlusRelease2 March (2015-03-02) –14 November 2015...

 

Kelenteng Kelenteng Kim Tek Ie, 2008. Hanzi tradisional: 中華廟宇 Hanzi sederhana: 中华庙宇 Makna harfiah: Tempat ibadah Tionghoa Alih aksara Mandarin - Hanyu Pinyin: zhōnghuá miàoyǔ - Wade-Giles: chunghua miaoyü Bagian dari seri mengenaiKepercayaan tradisional Tionghoa Konsep Taidi 太帝 Tian 天—Shangdi 上帝 Qi 气 Shen 神 Ling 灵 Xian ling 显灵 Yinyang 阴阳 Hundun Naga 龙 dan Feniks 凤凰 Mingyun 命运 Yuanfen 缘分 Baoying 报应 Wu 悟 Teori Teologi Tionghoa ...

Helicopter Maritime Strike Squadron Seven Nine (HSM-79)HSM-79 InsigniaActive2 June 2016 - presentCountry United States of AmericaBranch United States NavyTypeNavy Helicopter SquadronRoleSurface Warfare (SUW)Anti-Submarine Warfare (ASW)Garrison/HQNaval Station Rota, SpainNickname(s)GriffinsCommandersCurrentcommanderN. Rongers[1]CommanderC. Yost[1]Military unit Helicopter Maritime Strike Squadron Seven Nine (HSM-79) Griffins is a United States Navy helicopter squadron[...

 

American politician (born 1947) For those of a similar name, see Al Green (disambiguation). Al GreenMember of the U.S. House of Representativesfrom Texas's 9th districtIncumbentAssumed office January 3, 2005Preceded byChris Bell (Redistricting) Personal detailsBorn (1947-09-01) September 1, 1947 (age 76)New Orleans, Louisiana, U.S.Political partyDemocraticEducationFlorida A&M UniversityTuskegee University (BA)Texas Southern University (JD)WebsiteHouse website Al Green...

 

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

 本表是動態列表,或許永遠不會完結。歡迎您參考可靠來源來查漏補缺。 潛伏於中華民國國軍中的中共間諜列表收錄根據公開資料來源,曾潛伏於中華民國國軍、被中國共產黨聲稱或承認,或者遭中華民國政府調查審判,為中華人民共和國和中國人民解放軍進行間諜行為的人物。以下列表以現今可查知時間為準,正確的間諜活動或洩漏機密時間可能早於或晚於以下所歸�...

 

伊斯兰合作组织Organisation of Islamic Cooperation(英語)Organisation de la Coopération Islamique(法語)منظمة التعاون الإسلامي(阿拉伯語) 旗帜格言:To safeguard the interests and ensure the progress and well-being of Muslims  成员国  观察国  暂停会籍行政总部 沙地阿拉伯吉达 官方语言阿拉伯语英语法语类型宗教成员国57个在籍成员国(英语:Member states of the Organisation ...

 

Society for Christian socialists in the United Kingdom This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Christians on the Left – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2008) (Learn how and when to remove this message) Christians on the LeftFormation1960; 64 years ago (1960)Merger&#...

2002 studio album by Box Car RacerBox Car RacerStudio album by Box Car RacerReleasedMay 21, 2002RecordedDecember 2001 – January 2002Studio Various Signature Sound, San Diego, CaliforniaLarrabee Studios West, Hollywood, CaliforniaO'Henry Studios, Burbank, California Genre Pop-punk post-hardcore punk rock emo Length41:34LabelMCAProducerJerry FinnSingles from Box Car Racer I Feel SoReleased: June 6, 2002 There IsReleased: August 19, 2002 Box Car Racer is the only studio album by Ameri...

 

184th Paratroopers Division NemboActive1942-1944Country Kingdom of ItalyBranch Royal Italian ArmyTypeInfantryRoleAirborneSizeDivisionEngagementsWorld War II: Italian campaign InsigniaIdentificationsymbol Nembo Division gorget patchesMilitary unit The 184th Paratroopers Division Nembo (Italian: 184ª Divisione paracadutisti Nembo) was an airborne division of the Royal Italian Army during World War II. After the Armistice of Cassibile the division joined the Italian Co-belligerent Arm...

 

Il neorealismo è stato un movimento culturale, nato e sviluppatosi in Italia durante il secondo conflitto mondiale e nell'immediato dopoguerra, che ha avuto dei riflessi molto importanti sul cinema contemporaneo (soprattutto negli anni compresi tra il 1943 e il 1955 circa). Esiste univocità di giudizi, o quasi, sull'anno in cui ha avuto inizio il fenomeno del neorealismo propriamente detto, facendolo canonicamente risalire al 1943, allorquando venne presentato al pubblico italiano il capola...

This article is about the medical use of the term. For its use in spider anatomy, see Palpal bulb. Unattached mass that travels through the bloodstream Illustration depicting embolism from detached thrombus An embolus (/ˈɛmbələs/;[1] pl.: emboli; from the Greek ἔμβολος wedge, plug) is an unattached mass that travels through the bloodstream and is capable of creating blockages. When an embolus occludes a blood vessel, it is called an embolism or embolic event.[2] Th...

 

For other uses, see Father of the Bride (disambiguation). American TV series or program Father of the BrideOriginal title card with animated Cupid.GenreSitcomBased onFather of the Brideby Edward StreeterWritten byCharles E. AndersonKen CooperJohn ElliotteDale EunsonKatherine EunsonMathilda FerroTheodore FerroMort GreenEdward StreeterCarey WilberDirected byMort GreenAnton LeaderFletcher MarkleGene ReynoldsRichard WhorfStarringLeon AmesRuth WarrickMyrna FaheyTheme music composerDavid RaksinCoun...