Числова функція (у математиці) — функція, яка діє з одного числового простору (множини) в інший числовий простір (множину)^[1]. Числові множини — це множини натуральних (${\displaystyle \mathbb {N} }$), цілих (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), раціональних (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), дійсних (${\displaystyle \mathbb {R} }$) і комплексних чисел (${\displaystyle \mathbb {C} }$) разом з визначеними для відповідних множин алгебричними операціями. Для всіх перерахованих числових множин, крім комплексних чисел, визначено також відношення лінійного порядку, що дозволяє порівнювати числа за величиною. Числові простори — це числові множини разом з функцією відстані, заданою на відповідній множині.

У найзагальнішому випадку, числова функція — це функція, що набуває значення в області дійсних чисел і яка задана на довільному (найчастіше) метричному просторі. Така, наприклад, індикаторна або характеристична функція множини. Інший приклад числової функції — це функція відстані (або, що те ж саме, метрика).

Числові функції, задані на множині дійсних або комплексних чисел називають функціями відповідно дійсної або комплексної змінної і є предметом розгляду в аналізі:

• дійснозначні функції дійсної змінної розглядаються в математичному аналізі,
• комплекснозначні функції комплексної змінної розглядаються в комплексному аналізі.

Важливий предмет розгляду в аналізі — подання числових функцій у вигляді системи наближень (числових і функціональних рядів).

Числові функції мають як загальні властивості, якими можуть володіти відображення довільних метричних просторів (наприклад, неперервність), так і низку властивостей, безпосередньо пов'язаних з природою числових просторів. Такими є властивості

• диференційовності, інтегрованості, сумовності, вимірності (для довільних числових функцій);

а, також, властивості

• парності (непарності), монотонності (для дійснозначних функцій дійсної змінної);
• аналітичності, багатолистості (для комплекснозначних функцій комплексної змінної).

Числові функції широко використовуються прирозв'язуванні прикладних задач.

Нехай дано функцію ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тоді

• функція ${\displaystyle f}$ називається зростаючою на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);}$

• функція ${\displaystyle f}$ називається строго зростаючою на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y);}$

• функція ${\displaystyle f}$ називається спадною на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);}$

• функція ${\displaystyle f}$ називається строго спадною на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y).}$

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Функція ${\displaystyle f\colon M\to N}$ називається періодичною з періодом ${\displaystyle T\not =0}$, якщо

${\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}$.

Якщо ця рівність не виконується для жодного ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0}$, то функцію ${\displaystyle f}$ називають аперіодичною.

• функція ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ називається непарною, якщо виконується рівність

${\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.}$

• Функція ${\displaystyle f}$ називається парною, якщо виконується рівність

${\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.}$

Нехай дано функцію ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ і ${\displaystyle x_{0}\in M^{0}}$ — внутрішня точка області визначення ${\displaystyle f.}$ Тоді

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою абсолютного (глобального) максимуму, якщо

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою абсолютного мінімуму, якщо

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).}$

• Нехай дано відображення ${\displaystyle F:X\to Y}$. Тоді його графіком ${\displaystyle \Gamma }$ називається множина
      ${\displaystyle \Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y}$, де ${\displaystyle X\times Y}$ позначає декартів добуток множин ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$.
  • Графіком неперервної функції ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ є крива на двовимірній площині.
  • Графіком неперервної функції ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ є поверхня в тривимірному просторі.

• функція Діріхле
  • Повертає одиницю, якщо аргумент — раціональне число, якщо ж ірраціональне, то повертає нуль.

    ${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

  • Область визначення: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (вся числова вісь).
  • Область значень: ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$.

• Функція sgn (x)
  • Повертає знак аргументу.

    ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}}$

  • Область визначення: ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
  • Область значень: ${\displaystyle \left\{-1,0,+1\right\}}$.

• ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$
  • Область визначення: ${\displaystyle \left[-1,+1\right]}$.
  • Область значень: ${\displaystyle \left[0,+1\right]}$.

• Факторіал
  • Повертає добуток всіх натуральних чисел, не більших від даного. Крім того, ${\displaystyle 0!=1}$.

    ${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}}$

  • Область визначення: ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ (множина натуральних чисел з нулем).
  • Область значень: ${\displaystyle \left\{1,2,6,24,120,\ldots \right\}}$

• Антьє (підлога)
  • Повертає цілу частину числа.

    ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb {Z} \mid q\leqslant x\right\}}$

  • Область визначення: ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
  • Область значень: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Словесний	За допомогою природної мови	Ігрек дорівнює цілій частині від ікс.
Аналітичний	За допомогою формули і стандартних позначень	${\displaystyle f(x)=x!}$
Графічний	За допомогою графіка
Табличний	За допомогою таблиці значень	x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом і функцією, задають за допомогою формул. Такий спосіб задання функції називають аналітичним. Цей спосіб дає можливість за кожним числовим значенням аргументу ${\displaystyle x}$ знайти відповідне йому числове значення функції ${\displaystyle y}$ точно або з деякою точністю. Якщо залежність між ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ задана формулою, розв'язаною відносно ${\displaystyle y}$, тобто у вигляді ${\displaystyle y=f(x)}$, то кажуть, що функцію від ${\displaystyle x}$ задано в явному вигляді. Якщо ж значення ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ пов'язані деяким рівнянням вигляду ${\displaystyle F(x,y)=0}$, тобто формула не розв'язана відносно ${\displaystyle y}$, то кажуть, що функцію ${\displaystyle y=f(x)}$ задано неявно. Функцію можна визначити різними формулами на різних ділянках області визначення. Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом задання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції для довільного значення аргументу з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу — основні переваги аналітичного способу задання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, яку компенсує можливість побудови графіка, і необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.

Приклади:

• ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}}$ ;
• ${\displaystyle f\left(x,y\right)=x\lor y}$ ;
• ${\displaystyle f\left(A\right)=\left|A\right|}$ ;
• ${\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}}$

Функцію можна задати, перерахувавши всі її можливі аргументи і значення для них. Після цього, якщо це необхідно, функцію можна довизначити для аргументів, яких немає в таблиці, інтерполяцією або екстраполяцією. Прикладами можуть служити програма передач, розклад поїздів або таблиця значень булевої функції:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle x\land y}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

Функцію можна задати графічно, зобразивши множину точок її графіка на площині. Це може бути приблизний начерк, як має виглядати функція, або покази, зняті з приладу, наприклад, з осцилографа. Цей спосіб задання може бути недостатньо точним, однак у деяких випадках інші способи задання взагалі неможливо застосувати. Крім того, такий спосіб задання один з найнаочніших, зручних для сприйняття і якісного евристичного аналізу функції.

Функцію можна задати рекурсивно, тобто через саму себе. В цьому випадку одні значення функції визначаються через інші її значення.

Приклади:

• факторіал,
• числа Фібоначчі,
• функція Аккермана.

Функцію можна описати словами природної мови будь-яким однозначним способом, наприклад, описавши її вхідні й вихідні значення, або алгоритм, за яким функція задає відповідності між цими значеннями. Поряд із графічним способом, іноді це єдиний спосіб описати функцію, хоча природні мови і не настільки детерміновані, як формальні.

Приклади:

• функція, яка повертає цифру в запису числа пі за її номером;
• функція, яка повертає число атомів у всесвіті у певний момент часу;
• функція, яка отримує як аргумент людину, і повертає число людей, які народяться після її народження.

• Інтегровні функції
• Функції, інтегровні за Лебегом
• Рівномірно безперервні функції
• Цілі функції

Математичне моделювання явищ і законів природи спричиняє виникнення поняття функції, яке спочатку обмежується алгебричними функціями (многочленами) і тригонометрією. Як і інші поняття математики, загальне поняття функції склалося не відразу, а пройшло довгий шлях розвитку. Зрозуміло, і в давнину при обчисленнях люди несвідомо використовували різні функції (наприклад, квадратний корінь) і навіть рівняння, однак як окремий математичний об'єкт, що допускає загальне аналітичне дослідження, функція могла з'явитися тільки після створення Вієтом символьної алгебри (XVI століття)^[2]. Навіть у XVII столітті Непер, вводячи в ужиток логарифмічну функцію, використовував обхідний шлях — визначив її кінематично.

Спочатку об'єктом дослідження стали різноманітні алгебричні формули. Декарт розглядав неалгебричні залежності тільки у як рідкісний виняток. У нього й у Ферма формула розуміється не просто як обчислювальний алгоритм, але розглядається як (геометрично подаване) перетворення однієї неперервно змінюваної величини на іншу^[3]. У Барроу («Лекції з геометрії», 1670) в геометричній формі встановлюється взаємна оберненість дій диференціювання й інтегрування (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно чітке володіння поняттям функції як цілісного об'єкта. У геометричному і механічному вигляді поняття функції ми знаходимо й у Ньютона.

Математичний термін «функція» вперше з'явився 1673 року в Ляйбніца, і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні: Ляйбніц спочатку називав функцією різні відрізки, пов'язані з будь-якою кривою (наприклад, абсциси її точок). Пізніше, однак, у листуванні з Йоганном Бернуллі (1694) зміст терміна розширився і врешті-решт став синонімом «аналітично заданої залежності».

У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих для пізнання кривих ліній» Лопіталя (1696) термін «функція» не вживається.

На початку XVIII століття отримано розклади всіх стандартних функцій і багатьох інших. Завдяки, переважно, Ейлеру (1748) уточнено їх визначення. Ейлер уперше ясно визначив показникову функцію, а також логарифмічну як обернену до неї, і дав їх розклади в ряд. До Ейлера багато математиків вважали, наприклад, тангенс тупого кута додатним; Ейлер дав сучасні визначення всіх тригонометричних функцій (сам термін «тригонометрична функція» запропонував Клюгель 1770 року).

У застосуваннях аналізу з'являється багато нових трансцендентних функцій. Коли Гольдбах і Бернуллі спробували знайти неперервний аналог факторіала, молодий Ейлер повідомив у листі Гольдбаху про властивості гамма-функції (1729, назва належить Лежандру). Через рік Ейлер відкрив бета-функцію, і далі неодноразово повертався до цієї теми. Гамма-функція і пов'язані з нею (бета, дзета, циліндричні (Бесселя)) знаходять численні застосування в аналізі, а також у теорії чисел, а дзета-функція Рімана виявилася незамінним інструментом для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді.

1757 року Вінченцо де Ріккаті, досліджуючи сектори гіперболи, вводить гіперболічні функції ch, sh (саме з такими позначеннями) і перераховує їх основні властивості. Чимало нових функцій виникло в зв'язку з неінтегровністю різних виразів. Ейлер визначив (1768) інтегральний логарифм (назву запропонував І. Зольднер^[en], 1809), Л. Маскероні — інтегральні синус і косинус (1790). Незабаром з'являється і новий розділ математики: спеціальні функції.

З цим строкатим зібранням слід було щось робити, і математики вчинили радикально: всі функції, незалежно від їх походження, оголосили рівноправними. Єдина вимога, що ставиться до функції — визначеність, причому мається на увазі не однозначність самої функції (вона може бути і багатозначною), а недвозначність способу обчислення її значень.

Перше загальне визначення функції зустрічається в Йоганна Бернуллі (1718): «Функція — це величина, складена із змінної і сталої». В основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея задання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає й у визначенні Ейлера, яке він дав у «Вступі до аналізу нескінченних» (1748): «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений певним чином з цієї змінної кількості і чисел або сталих кількостей».

Все ж у XVIII столітті було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між функцією і її аналітичним виразом. Це відбилося в критиці Ейлером розв'язку задачі про коливання струни, запропонованого Бернуллі (1753). В основі розв'язку Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію в тригонометричний ряд. Заперечуючи це, Ейлер вказав на те, що подібна розкладність надавала б будь-якій функції аналітичний вираз, тоді як функція може й не мати його (її можна задати графіком, «накресленим вільним рухом руки»).

Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції допускають аналітичне подання (правда, в Бернуллі йдеться про неперервну функцію, яка, як виявив 1885 року Веєрштрасс, завжди аналітично зображувана, але вона може й не розкладатися в тригонометричний ряд). Однак інші аргументи Ейлера вже помилкові^[4]. Наприклад, він вважав, що розкладання функції в тригонометричний ряд надає для неї єдиний аналітичний вираз, тоді як вона може бути «змішаною» функцією, подаваною на різних відрізках різними формулами. Насправді одне іншому не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичних вирази, збігаючись на частині відрізка, не збігалися на всій його довжині. Пізніше, під час дослідження функцій багатьох змінних він зрозумів обмеженість колишнього визначення і визнав розривні функції, а потім, після дослідження комплексного логарифма — навіть багатозначні функції.

Під впливом теорії нескінченних рядів, які давали алгебричне подання майже будь-якої гладкої залежності, наявність явної формули поступово припинила бути обов'язковою для функції. Логарифм або показникова функція, наприклад, обчислюються як границі нескінченних рядів; такий підхід поширився й на інші нестандартні функції. З рядами стали поводитися як зі скінченними виразами, спочатку ніяк НЕ обґрунтовуючи коректності операцій і навіть не гарантуючи збіжності ряду.

Починаючи з «Диференціального числення» (1755), Ейлер фактично приймає сучасне визначення числової функції як довільної відповідності чисел^[4]:

Коли деякі кількості залежать від інших так, що при зміні останніх і самі вони зазнають зміни, то перші називають функціями других.

Від початку XIX століття все частіше й частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичне подання. У «Трактаті з диференціального й інтегрального числення» (1797–1802) Лакруа сказано: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх» незалежно від того, відомий чи невідомий спосіб обчислення її значень^[5].

В «Аналітичній теорії тепла» Фур'є (1822) є фраза: «Функція ${\displaystyle fx}$ позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підлеглих чи ні загальному закону і відповідних усім значенням${\displaystyle x}$, що містяться між ${\displaystyle 0}$ і будь-якою величиною».

Близьке до сучасного і визначення Лобачевського:

… Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від ${\displaystyle x}$ називати число, яке дається для кожного ${\displaystyle x}$ і разом з ${\displaystyle x}$ поступово змінюється. Значення функції можна дати або аналітичним виразом, або умовою, яка надає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомою… Широкий погляд теорії допускає існування залежності лише в тому сенсі, щоб числа одні з іншими в зв'язку розуміти ніби даними разом.

Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадок про аналітичне задання, зазвичай приписуване Діріхле, неодноразово пропонувалося і до нього. Ось визначення Діріхле (1837):

у є функцією змінної х (на відрізку ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено цю відповідність — аналітичною формулою, графіком, таблицею, чи навіть просто словами.

До кінця XIX століття поняття функції переростає рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, незабаром Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) і Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.

Функції можна задавати за допомогою інших функцій і рівнянь.

Припустимо, задано функцію ${\displaystyle F}$ двох змінних, яка задовольняє особливим умовам (умовам теореми про неявні функції), тоді рівняння вигляду.

${\displaystyle F(x,y)=0}$.

визначає неявну функцію вигляду ${\displaystyle y=f(x)}$.

• Опуклість
• Гладкість
• Графік функції
• Диференційовність
• Дослідження функції
• Неперервність
• Раціональність
• Середнє значення функції
• Числова послідовність

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• А. П. Юшкевич. История математики под редакцией. — М. : Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Юшкевич А. П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17 (28 листопада). — С. 123—150.