Народився в родині робітника. У 1914 році родина переїхала до Харкова, де батько Олександра Морозова влаштувався працювати на Харківський паровозобудівний завод (ХПЗ).
1919 року завершив 6 класів загальноосвітньої школи, після чого почав трудову діяльність діловодом на ХПЗ. Згодом працював копіювальником, креслярем і конструктором, брав участь у створенні перших радянських гусеничних тракторів. Відслужив у РСЧА авіаційним техніком-мотористом, після чого 1928 року повернувся на ХПЗ.[2]
Впродовж 1929—1931 навчався заочно в Московському механіко-електротехнічному інституті.[2]
1931—1938 — керівник групи конструкторського бюро ХПЗ, від 1938 — заступник начальника конструкторського бюро, від 1940 — головний конструктор Харківського заводу № 183 імені Комінтерну, евакуйованого в жовтні 1941 року в місто Нижній Тагіл Свердловської області РРФСР. Працював головним конструктором Уральського танкового заводу.
З листопада 1951 року — головний конструктор Харківського конструкторського бюро (КБ) машинобудування, у 1966—1976 роках — його начальник. З червня 1976 року — консультант Харківського КБ машинобудування та член Науково-технічної Ради Міністерства машинобудування СРСР.
Генерал-майор технічної служби (1943). Доктор технічних наук (1972).
Конструкторська діяльність
1931—1939 брав участь у проектуванні легких колісно-гусеничних танків: БТ-2 (1931), БТ-5 (1932), БТ-7 (1935), БТ-7М (1939).
Спільно з Михайлом Кошкіним і М. О. Кучеренком керував розробкою середнього танку Т-34 (1940).
Після війни під керівництвом Морозова створено низку танків, інших об'єктів бронетанкової техніки, зокрема танк Т-64.
В Харкові встановлено меморіальні дошки О. Морозову — на будинку, де він жив і в НТУ «ХПІ», на будівлі кафедри колісних та гусеничних машин ім. О. О. Морозова;
У 1982 у Брянську встановлено пам'ятник-погруддя Морозову як двічі Героєві Соціалістичної Праці (автор Микола Рябінін).