У дорослому футболі дебютував 2001 року виступами за команду клубу «Дустлік», в якій того року взяв участь у 12 матчах чемпіонату.
У 2002 грав за ташкентський«Пахтакор», після чого перебрався в Росії, де став гравцем московськогоЦСКА. Проте за перший сезон Олександр зіграв за «армійців» лише два матчі в чемпіонат і по одному в національному Кубку та Суперкубку, а у сезоні 2004 взагалі виступа виключно за дубль.
На початку 2005 року Гейнріх став гравцем «Пахтакора», але вже влітку того ж року знову відправився до Росії, де грав за «Торпедо» (Москва) аж до вильоту «торпедівців» з Прем'єр-ліги за підсумками сезону 2006 року.
З початку 2007 року знову, цього разу чотири сезони, захищав кольори «Пахтакору». У складі «Пахтакора» був одним з головних бомбардирів команди, маючи середню результативність на рівні 0,53 голу за гру першості і до поміг клубу зробити золотий дубль у 2005 та 2007 роках.
Влітку 2012 року перейшов у стан казахстанського«Актобе»[1]. У кваліфікації Ліги Європи 2013/14 проти київського «Динамо» забив по голу в кожному матчі, проте казахи програли обидва матчі (2:3, 1:5) і до групового раунду не пройшли. На початку червня 2014 року стало відомо, що клуб в односторонньому порядку розірвав контракт з гравцем.
У другій половині 2014 року Гейнріх грав за «Локомотив» (Ташкент), після чого повернувся в Казахстан, ставши гравцем клубу «Ордабаси». Відтоді встиг відіграти за шимкентську команду 42 матчі в національному чемпіонаті.
