Професійну кар'єру розпочав у ташкентському«Пахтакорі» в 2002 році. За три сезони провів у складі команди 39 зустрічей, забивши в них чотирнадцять м'ячів. Разом з «Пахтакором» Бікмаєв тричі домагався перемог у розіграші першості країни, а також тричі ставав володарем кубку.
У 2004 році Марат перебрався в Росії, уклавши контракт з самарським клубом «Крила Рад»[2]. У складі волжан Марат закріпитися не зумів, провівши за півтора року всього п'ять зустрічей у першості країни, а також дві гри в Кубку Росії[3]. Брав участь у першому матчі другого кваліфікаційного раунду Кубка УЄФА 2005/06.
У 2007 році поповнив ряди іншого волзького клубу — казанського«Рубіна», але і тут він не мав ігрової практики. Так і не зігравши жодного матчу в основній команді клубу, Бікмаєв покинув Казань і переїхав у Нальчик, де виступав у складі місцевого «Спартака». Дебют Бікмаєва в новій команді відбувся 15 березня 2008 року в матчі першого туру проти раменського«Сатурна»[4]. Всього у складі нальчан Марат провів півтора сезони, 48 разів з'являвся на полі, тричі забивав голи.
Влітку 2010 року Бікмаєв досить несподівано розірвав контракт з нальчанами і поповнив стан владикавказської«Аланії»[5]. У новому клубі дебютував 15 серпня 2010 року в матчі проти пермського«Амкару»[6]. До кінця сезону провів у складі «барсів» ще дванадцять ігор, але це не врятувало команду від вильоту в другий російський дивізіон. Це не завадило владикавказькому клубу дійти до фіналу кубку країни[7], що дозволило йому виступати в Лізі Європи УЄФА. В даному турнірі Бікмаєв чотири рази виходив на поле, забив один гол[8]. По закінченню сезону 2011/12 контракт з футболістом продовжений не був і Марат відправився в Казахстан, ставши гравцем «Актобе»[9]. За два сезони у складі місцевого клубу Марат провів 21 матч у чемпіонаті країни, а також шість зустрічей у кубку, ставши разом з клубом чемпіоном Казахстану в 2013 році.
7 січня 2014 року уклав дворічний контракт з ташкентським«Локомотивом»[10]. Дебютував у новому клубі 1 жовтня 2014 року, вийшовши на заміну замість Алішера Шагуламова на 89-й хвилині. А ще через хвилину Марат відзначився голом[11]. З командою двічі вигравав національний кубок. Станом на 9 квітня2018 року відіграв за ташкентських залізничників 81 матч в національному чемпіонаті.