Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є лінійний простір, що позначається ${\displaystyle A\otimes B}$, для елементів ${\displaystyle a\in A}$ і ${\displaystyle b\in B}$, їх тензорний добуток ${\displaystyle a\otimes b}$ лежить у просторі ${\displaystyle A\otimes B}$.

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — скінченновимірні векторні простори над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1\dots n}}$ — базис в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1\dots m}}$ — базис в ${\displaystyle B}$. Тензорним добутком ${\displaystyle A\otimes B}$ просторів ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ будемо називати векторний простір, породжений елементами ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$, що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток ${\displaystyle a\otimes b}$ довільних векторів ${\displaystyle a\in A,~b\in B}$ можна визначати, вважаючи операцію ${\displaystyle \otimes }$ білінійною:

${\displaystyle (\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K}$

${\displaystyle a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K}$

При цьому тензорний добуток довільних векторів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ виражається як лінійна комбінація базисних векторів ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$. Елементи у ${\displaystyle A\otimes B}$, що представляються у вигляді ${\displaystyle a\otimes b}$, називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Тензорний добуток — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору ${\displaystyle C}$ і білінійного відображення ${\displaystyle \otimes ^{\prime }:A\times B\to C}$ існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle f:A\otimes B\to C}$ такий, що

${\displaystyle \otimes ^{\prime }=f\circ \otimes }$

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, оскільки всі простори, які при цьому отримуються ${\displaystyle A\otimes B}$ виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення ${\displaystyle L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C}$ може бути визначене як лінійне відображення ${\displaystyle L\ni \varphi :A\otimes B\to C}$, при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори ${\displaystyle \ L^{2}(A\times B,C)}$ і ${\displaystyle L(A\otimes B,C)}$ є канонічно ізоморфними.

Іншими словами, довільний функтор ${\displaystyle \otimes :C\times C\rightarrow C}$ називається тензорним добутком. Нехай ${\displaystyle C}$ - категорія із тензорним добутком ${\displaystyle \otimes .}$ Умовою асоціативності для ${\displaystyle \otimes }$ є ізоморфізм

${\displaystyle \vartheta :\otimes (\otimes \times Id)\rightarrow \otimes (Id\times \otimes ).}$

Тому для будь-якої трійки ${\displaystyle A,B,C}$ об'єктів категорії ${\displaystyle C}$є ізоморфізм

${\displaystyle \vartheta _{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C),}$

такий, що діаграма

є комутативною для морфізмів ${\displaystyle f,g,h}$ категорії ${\displaystyle C}$.

Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Гопфа.

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} ^{\textsf {T}}\rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}}$

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах проводиться неявне сумування):

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}}$.

Звідси слідує, що ${\displaystyle {\textbf {b}}\otimes {\textbf {a}}=({\textbf {a}}\otimes {\textbf {b}})^{\mathrm {T} }}$ та ${\displaystyle {\textbf {a}}({\textbf {b}}\otimes {\textbf {c}})=({\textbf {ab}})\otimes {\textbf {c}}.}$

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

${\displaystyle P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}}$

${\displaystyle P_{ij}\ =a_{i}b_{j}}$

${\displaystyle P^{ij}\ =a^{i}b^{j}}$

Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекерівським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ. outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу)^[1][2].

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Нехай ${\displaystyle A:U_{1}\to U_{2}}$, ${\displaystyle B:W_{1}\to W_{2}}$ — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів ${\displaystyle A\otimes B:U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}}$ визначається за правилом

${\displaystyle (A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}}$

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

${\displaystyle \mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

• ${\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B}$

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

• Асоціативність

${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)}$

• Комутативність

${\displaystyle A\otimes B\simeq B\otimes A}$

• Лінійність

${\displaystyle A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$

${\displaystyle \oplus }$ — зовнішня сума лінійних просторів.

Нехай ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ — модулі над деяким комутативним кільцем ${\displaystyle R}$. Тензорним добутком цих модулів називається модуль ${\displaystyle B}$ над ${\displaystyle R}$, даний разом з полілінійним відображенням ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B,}$ що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle R}$ і будь-якого полілінійного відображення ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$ існує єдиний гомоморфізм модулів ${\displaystyle h\colon B\to C}$ такий, що діаграма

є комутативною. Тензорний добуток позначається ${\displaystyle A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}}$. Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль ${\displaystyle M}$, твірними якого будуть n-ки елементів модулів ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ де ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$. Нехай ${\displaystyle N}$ — підмодуль ${\displaystyle M}$, що породжується такими елементами:

1. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})}$
2. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль ${\displaystyle B=M/N}$, клас ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})+N}$ позначається ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$, і називається тензорним добутком елементів ${\displaystyle x_{i}}$, a ${\displaystyle f}$ визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$ полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю ${\displaystyle C}$ і будь-якого полілінійного відображення ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$ існує єдиний гомоморфізм модулів ${\displaystyle h}$, такий, що ${\displaystyle g=h\circ f}$.

Насправді, оскільки ${\displaystyle M}$ вільний, то існує єдине відображення ${\displaystyle h^{*}}$, що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що ${\displaystyle g}$ полілінійне, то на ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h^{*}(N)=0}$, звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що ${\displaystyle h\colon M/N\to C}$, буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи ${\displaystyle A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}}$, що представляються у вигляді ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$, називаються розкладними.

Якщо ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}}$ — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

${\displaystyle f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}}$

що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів ${\displaystyle f_{i}}$.

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай ${\displaystyle e_{i1},\dots ,e_{in}}$ — базис модуля ${\displaystyle A_{i}}$. Побудуємо вільний модуль ${\displaystyle F}$ над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$, визначивши відображення ${\displaystyle f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$ і поширюючи його на ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}}$ по лінійності. Тоді ${\displaystyle F}$ є тензорним добутком, де ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$ є тензорним добутком елементів ${\displaystyle e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}}$. Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

${\displaystyle rank(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=rankA_{1}\cdot \dots \cdot rankA_{n}}$.

• Згортка тензора
• Тензор
• Тензорне поле
• Добуток Адамара

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.