Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.

Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.

Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра H над полем ${\displaystyle K}$ разом з ${\displaystyle K}$-лінійним відображенням ${\displaystyle S\colon H\to H}$ (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:

Тут Δ — кодобуток біалгебри, ∇ — добуток алгебри, η — одиниця алгебри й ε — коодиниця.

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H}$.

Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле ${\displaystyle K}$ на комутативне кільце ${\displaystyle R}$).

Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.

Зафіксувавши базис ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

для кодобутку:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

для антипода:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

для коасоціативності має виконуватися рівність

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

Також для структурних констав має бути

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}$

В означенні алгебр Гопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, S є антигомоморфізмом ^[1], так S² - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.

Якщо ${\displaystyle S^{2}=Id}$, то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).^[2]

Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає ${\displaystyle g}$ у ${\displaystyle g^{-1}}$. ^[3]

Підалгебра A алгебри Гопфа H є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Гопфа A - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною, то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Гопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, ${\displaystyle ad_{r}(h)(A)\subseteq A}$ для всіх h з H, де приєднане відображення ${\displaystyle ad_{r}}$ задане як ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}}$ для всіх a з A і h з H. Підалгебра Гопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню ${\displaystyle ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})}$ для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Гопфа.

Нормальна підалгебра Гопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: ${\displaystyle HA^{+}=A^{+}H}$, де ${\displaystyle A^{+}}$ позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що ${\displaystyle HA^{+}}$ — ідеал алгебри Гопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа ${\displaystyle H/HA^{+}}$ і епіморфізм ${\displaystyle H\rightarrow H/A^{+}H}$, аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. ^[4]

Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано ${\displaystyle \smile }$-добутком, а кодобуток

${\displaystyle H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)}$

множенням групи ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$.

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.

Теорема Гопфа ^[9] Нехай A — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ H → H ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.

Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:

• кільце R замінюється множиною з 1 елемента
• є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
• є природний кодобуток (діагональне відображення)
• одиниця — нейтральний елемент групи
• множення — множення в групі
• антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. ^[10]

• Коалгебра

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras. An introduction, Pure and Applied Mathematics, т. 235 (вид. 1st), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl 0962.16026.
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras [Архівовано 9 серпня 2017 у Wayback Machine.], IHES preprint, September 2006, 81 pages
• Fuchs, Jürgen (1992), Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X, Zbl 0925.17031
• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR4784, Zbl 0025.09303
• Montgomery, Susan (1993), Hopf algebras and their actions on rings, Regional Conference Series in Mathematics, т. 82, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0738-2, Zbl 0793.16029
• Street, Ross (2007), Quantum groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, т. 19, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR 2294803, Zbl 1117.16031.
• Sweedler, Moss E. (1969), Hopf algebras, Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York, MR 0252485, Zbl 0194.32901, архів оригіналу за 28 червня 2014, процитовано 7 грудня 2017
• Underwood, Robert G. (2011), An introduction to Hopf algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234.16022