Алгебра Гейтінга

Алгебричні структури
Групо-подібні Група Напівгрупа / Моноїд Стійки і квандли Квазігрупа і Петля Абелева група Магма Група Лі Теорія груп
Кільце-подібні Кільце Rng^[en] Напівкільце Near-ring^[en] Групове кільце Комутативне кільце Область цілісності Поле Тіло Lie ring Теорія кілець
Ґратко-подібні Ґратка Напівґратка Доповнена ґратка Лінійний порядок Алгебра Гейтінга Булева алгебра Діаграма ґраток Теорія порядку
Модуле-подібні Модуль Група з операторами Векторний простір Лінійна алгебра
Алгебра-подібні Алгебра Асоціативна Неасоціативна Композитна алгебра Алгебра Лі Градуйована Біалгебра Алгебра Гопфа
п о р

Алгебра Гейтінга — ґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як моделі інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.

Визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,b ∈ H існує найбільший елемент x ∈ H такий, що

a\wedge x\leq b.

Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається a → b.

Псевдо-доповненням довільного елемента x називається ¬x = (x → 0). Отже, за визначенням, a ∧ ¬a = 0. Хоча, не завжди a ∨ ¬a = 1, як це виконується в Булевій алгебрі.

Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.

Алгебраїчне визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:

$~a\rightarrow a=1$
$a\wedge (a\rightarrow b)=a\wedge b$
$b\wedge (a\rightarrow b)=b$
$a\rightarrow (b\wedge c)=(a\rightarrow b)\wedge (a\rightarrow c)$ — дистрибутивний закон.

Приклади

Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як p → q = ¬p ∨ q.
Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де p → q дорівнює q, якщо p>q, і 1 в протилежному випадку.
Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією, визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: ½ ∨ ¬½ = ½.

Властивості

Загальні властивості

Алгебра Гейтінга є дистрибутивною ґраткою.
Частковий порядок ≤ на H може мати відновлений за допомогою операції → таким чином: для довільних a, b ∈ H, a ≤ b тоді і тільки тоді, коли a → b = 1.

На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: ¬a = a , тоді алгебра є одноелементною.

Закони де Моргана

Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:

\lnot (x\vee y)=\lnot x\wedge \lnot y

Інший виконується в слабшій формі:

\lnot (x\wedge y)=\lnot \lnot (\lnot x\vee \lnot y)

Джерела

Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)

п о р Теорія порядку
Головне	Бінарне відношення Булева алгебра Ґратка Передпорядок Частковий порядок Слабкий порядок^[en] Повний порядок Циклічний порядок
Результати	Теорема про булеві прості ідеали Лема Цорна Принцип максимуму Гаусдорфа Теорема Кантора — Бернштейна Теорема Кантора про ізоморфізми^[en] Теорема Ділворса Теорема Душніка — Міллера^[en] Теорема Кнастера — Тарського Теорема Краскала^[en] Теорема Лейвера^[en] Теорема Мірского^[en] Теорема Шпільрайна^[en]
Двоїстість	Верхня та нижня межа Інфімум та супремум Найбільший та найменший елемент Максимальні та мінімальні елементи Верхня та нижня множина Поєднання та зустріч Спрямованість вверх/вниз Фільтр / Ідеал Ланцюг / Антиланцюг Нижній та верхній антиланцюг
Властивості і Типи	Антирефлексивне Антисиметричне Асиметричне Ідемпотентне^[en] Однорідне^[en] Повне Покриваюче^[en] Рефлексивне Симетричне Транзитивне Фундоване (Часткової) Еквівалентності Толерантності Булева алгебра Завершенність^[en] Щільний порядок Спрямованість Алгебра Гейтінга Ґратка Обмежена Доповнююча Повна Дистрибутивна Частковий порядок Chain-complete^[en] Градуйований^[en] Ейлеровий^[en] Строгий частковий порядок Префіксний порядок^[en] Передпорядок Повний Напівґратка Напівпорядок^[en] Well-quasi-ordering^[en] (Better^[en]) (Pre^[en]) Цілковий
Конструкції	Композиція відношень^[en] Обернене відношення Рефлексивне замикання Симетричне замикання^[en] Транзитивне замикання Лінійне розширення^[en] Лексикографічний порядок Покомпонентний порядок^[en] Послідовно-паралельний частковий порядок Зірковий добуток^[en]
Топології & Порядки	Alexandrov topology^[en] & Specialization preorder^[en] Ordered topological vector space^[en] Normal cone^[en] Порядкова топологія Order topology^[en] Topological vector lattice^[en] Banach^[en] Fréchet^[en] Locally convex^[en] Normed^[en]
інше	Cofinal^[en] Cofinality^[en] Comparability^[en] Граф Діаграма Гассе Загальний фільтр Узагальнена послідовність Морфізм порядків Embedding^[en] Ізоморфізм Тип порядку Впорядковане поле Positive cone of an ordered field^[en] Ordered vector space^[en] Partially ordered^[en] Positive cone of an ordered vector space^[en] Riesz space^[en] Впорядкована група Positive cone of a partially ordered group^[en] Young's lattice^[en]

Read other articles:

中国人民解放军陆军第十四集团军炮兵旅

陆军第十四集团军炮兵旅陆军旗存在時期1950年 - 2017年國家或地區中国效忠於中国中国共产党部門中国人民解放军陆军種類炮兵功能火力支援規模约90门火炮直屬南部战区陆军參與戰役1979年中越战争中越边境冲突老山战役成都军区对越轮战紀念日10月25日陆军第十四集团军炮兵旅（英語：Artillery Brigade, 14th Army），是曾经中国人民解放军陆军第十四集团军下属�...

Catacombs Cave

Cave in Lava Beds National Monument, California Catacombs CaveTunnel in Catacombs Cave, 2016Location in CaliforniaLocationLava Beds National MonumentCoordinates41°42′18″N 121°30′55″W / 41.70504°N 121.51531°W / 41.70504; -121.51531Length6,903 feet (2,104 m)DifficultyDifficult Catacombs Cave is a 6,903 foot (2,104 m) cave in Lava Beds National Monument in California. It is considered one of the most challenging caves accessible in the park. This ver...

وزارة عاطف عبيد

وزارة عاطف عبيدمعلومات عامةالبلد مصر الاختصاص مصر التكوين 10 أكتوبر 1999 النهاية 15 يوليو 2004 المدة 4 سنواتٍ و9 أشهرٍ و5 أيامٍوزارة كمال الجنزوري الأولى وزارة أحمد نظيف الأولى تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات وزارة عاطف عبيد هي الوزارة الثالثة عشر بعد المائة في تاريخ مصر. ك...

Tasya Rosmala

Tasya RosmalaTasya Rosmala (2020)LahirNajwa Camila Tasya31 Maret 2003 (umur 21)Pasuruan, Jawa Timur, IndonesiaKebangsaanIndonesiaNama lainTasya RosmalaPekerjaanPenyanyiAktrisPresenterTahun aktif2012–sekarangKota asalPasuruanKarier musikAsalPasuruanGenreDangdutkoplopopLabelTasya Rosmala Official Najwa Camila Tasya (lahir 31 Maret 2003) atau lebih dikenal dengan nama Tasya Rosmala adalah penyanyi dangdut berdomisili dan membasiskan di Kabupaten Pasuruan. Dia merupakan pen...

Günther Freiherr von Maltzahn

German World War II flying ace Günther Freiherr von MaltzahnMaltzahn as a MajorBorn(1910-10-20)20 October 1910Wodarg, Province of PomeraniaDied24 June 1953(1953-06-24) (aged 42)DüsseldorfAllegiance Nazi GermanyService/branch LuftwaffeYears of service1931–1945RankOberst (Colonel)UnitJG 134, JG 53Commands heldJG 53Battles/warsSee battles World War II Battle of France Battle of Britain Operation Barbarossa Mediterranean Theatre AwardsKnight's Cross of the Iron Cross with ...

Sergio Mantecón

Questa voce sull'argomento calciatori spagnoli è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Sergio Mantecón Martínez Nazionalità Spagna Altezza 177 cm Peso 80 kg Calcio Ruolo Allenatore (ex centrocampista) Termine carriera 1º luglio 2017 - giocatore Carriera Giovanili 19??-19?? Real Madrid Squadre di club1 1999-2001 Badajoz B? (?)1999-2003 Badajoz74 (1)2003-2006 Alicante112 ...

Buddhisme di Myanmar

Bagian dari seri tentangBuddhisme SejarahPenyebaran Sejarah Garis waktu Sidang Buddhis Jalur Sutra Benua Asia Tenggara Asia Timur Asia Tengah Timur Tengah Dunia Barat Australia Oseania Amerika Eropa Afrika Populasi signifikan Tiongkok Thailand Jepang Myanmar Sri Lanka Vietnam Kamboja Korea Taiwan India Malaysia Laos Indonesia Amerika Serikat Singapura AliranTradisi Buddhisme prasektarian Aliran Buddhis awal Mahāsāṃghika Sthaviravāda Aliran arus utama Theravāda Mahāyāna Vajrayāna Kons...

أبو بكر الصيرفي

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (يناير 2019) لمعانٍ أخرى، طالع أبو بكر الصيرفي (توضيح). أبو بكر الصيرفي معلومات شخصية �...

Henry Chandler Cowles

American botanist and ecological pioneer (1869–1939) Henry Chandler CowlesBorn(1869-02-27)February 27, 1869Kensington, Connecticut, USDiedSeptember 12, 1939(1939-09-12) (aged 70)Alma materUniversity of Chicago Oberlin CollegeKnown forEcological successionSpouseElizabeth Waller[1]ChildrenHarriet[1]Scientific careerFieldsBotanyInstitutionsUniversity of ChicagoThesis The Ecological Relations of the Vegetation on the Sand Dunes of Lake Michigan (1898)Doctora...

美国众议院

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章众议院旗...

Villarreal Club de Fútbol 2017-2018

Voce principale: Villarreal Club de Fútbol. Villarreal Club de FútbolStagione 2017-2018Sport calcio Squadra Villarreal Allenatore Fran Escribá (fino al 25 settembre 2017) Javier Calleja (dal 25 settembre 2017) Presidente Fernando Roig Primera División5º Coppa del ReOttavi di finale Europa LeagueSedicesimi di finale Maggiori presenzeCampionato: Rodri (37)Totale: Rodri (47) Miglior marcatoreCampionato: Bacca (15)Totale: Bacca (18) StadioEstadio de la Cerámica (25 000) Maggior n...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Sao Tome dan Principe pada Olimpiade Musim Panas 2020

Sao Tome dan Principe padaOlimpiade Musim Panas 2020Kode IOCSTPKONComité Olímpico de São Tomé e PríncipePenampilan pada Olimpiade Musim Panas 2020 di TokyoPeserta3 dalam 2 cabang olahragaPembawa bendera (pembukaan)D'Jamila TavaresBuly Da Conceição TristePembawa bendera (penutupan)N/AMedali 0 0 0 Total 0 Penampilan pada Olimpiade Musim Panas (ringkasan)1996200020042008201220162020 Sao Tome dan Principe berkompetisi di Olimpiade Musim Panas 2020 di Tokyo. Awalnya dijadwalkan be...

Kucinta

KucintaAlbum studio karya Yana JulioDirilis1 Juni 1998GenrePopLabelAquarius MusikindoKronologi Yana Julio Selamanya Cinta (1995)Selamanya Cinta1995 Kucinta (1998) Jumpa Lagi (2002)Jumpa Lagi2002 Kucinta merupakan sebuah album musik karya Yana Julio. Dirilis pada tahun 1998. Lagu utamanya ialah All I Am. Daftar lagu Kucinta All I Am Menggapai Asa Asmaraku Asmaramu You Hari Bahagia Tiada Ragu Harapan Artikel bertopik album Indonesia ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia ...

فيليكس أنان

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2021) فيليكس أنان معلومات شخصية الميلاد 22 نوفمبر 1994 (العمر 29 سنة)غانا الطول 1.76 م (5 قدم 9 1⁄2 بوصة) مركز اللعب حارس مرمى الجنسية غانا معلومات الناد�...

Stellation diagram

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (May 2024) (Learn how and when to remove this message) The stellation diagram for the regular dodecahedron with the central pentagon highlighted. This diagram represents the dodecahedron face itself. In geometry, a stellation diagram or stellation pattern is a two-dimensional di...

Barrage (dam)

Type of dam For other uses, see Barrage (disambiguation). A barrage in Rockhampton, Australia Marina Barrage, Singapore Teesta Barrage at Gajoldoba in West Bengal, India. A barrage is a type of low-head, diversion dam which consists of a number of large gates that can be opened or closed to control the amount of water passing through. This allows the structure to regulate and stabilize river water elevation upstream for use in irrigation and other systems. The gates are set between flanking p...

美國駐英國大使館

美國駐英國大使館Embassy of the United States, London概要類型大使館地點英国倫敦梅费尔地址九榆树大道33号33 Nine Elms SW11 7US坐标51°28′57″N 0°07′54″W / 51.4826°N 0.1317°W / 51.4826; -0.1317建筑师基蘭-廷伯萊克建築事務所[*]使馆信息馆务辖区英国所属部門美國國務院大使簡·D·哈特利（2022年7月19日 - ）网站https://uk.usembassy.gov/地圖美國駐英國大使館（英語：Embass...

Eric Kandel

Eric Richard Kandel (2006) Premio Wolf per la medicina 1999 Premio Nobel per la medicina 2000 Eric Richard Kandel (Vienna, 7 novembre 1929) è un neurologo, psichiatra e neuroscienziato austriaco naturalizzato statunitense. Professore di biofisica e biochimica presso la Columbia University dal 1974, è uno dei maggiori neuroscienziati del XX secolo. Ha conseguito il premio Nobel per la medicina nel 2000 per gli studi effettuati sulle basi fisiologiche della conservazione della memoria nei...

Palacio Real de Madrid

Palacio Real de Madrid Bien de interés culturalPatrimonio histórico de España Vista aérea del Palacio RealLocalizaciónPaís EspañaComunidad Comunidad de MadridLocalidad MadridDirección Calle Bailén, s/n. 28013Datos generalesCategoría MonumentoCódigo RI-51-0001061Declaración 4 de junio de 1931Construcción 1735 - 1764Estilo Barroco clasicistaMapa de localización Palacio Real de Madrid Ubicación en Madrid [editar datos en Wikidata] Mapa del entorno. Al oeste los jardines ...

/profillengkap.com/index.php/article/Galena, Washoe County, Nevada

List of Azerbaijan football transfers winter 2016

مجلس الأمة الكويتي 2009

Dinamo Polyvalent Hall

CPCC Central Campus station

Infinity Ward

J. M. G. Le Clézio