В алгебричній геометрії, морфізмом між алгебричними многовидами називається відображення між многовидами, що локально є многочленом. Морфізми також називають регулярними відображеннями. Морфізм із алгебричного многовида в афінну пряму називається регулярною функцією.

Регулярне відображення, для якого існує обернене відображення, що теж є регулярним називається бірегулярним. Бірегулярні відображення є ізоморфізмами у категорії алгебричних многовидів. Загалом регулярність і бірегулярність є досить сильними умовами, наприклад єдиними регулярними функціями на проєктивних многовидах є константи. Тому часто при вивченні алгебричних многовидів використовують слабші властивості відображень, зокрема раціональність і біраціональність.

Якщо X і Y є підмноговидами афінних просторів Aⁿ і A^m, то регулярне відображення ƒ:X→Y є обмеженням поліноміального відображення Aⁿ→A^m. Тобто відображення має вид

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

де ${\displaystyle f_{i}}$ належать координатному кільцю многовида X:

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

а I — ідеал, що визначає X, і образ ${\displaystyle f(X)}$ належить Y; тобто задовольняє поліноміальні рівняння, що визначають Y. (Два многочлени f і g задають одну функцію на X якщо і тільки якщо f − g належить ідеалу I.)

Для проєктивних чи квазіпроєктивних многовидів, відображення ƒ:X→Y між двома многовидами називається регулярним в точці x якщо існує окіл U точки x і окіл V точки ƒ(x) для яких ƒ(U) ⊂ V і обмеження відображення ƒ:U→V є регулярним як відображення між деякими афінними картами на U і V. Відображення ƒ називається регулярним, якщо воно є регулярним в усіх точках X. Якщо X і Y є афінними, то два подані вище означення регулярності відображення ƒ:X→Y є еквівалентними (афінні многовиди є квазіпроєктивними).

У загальному випадку X і Y є абстрактними алгебричними многовидами, тобто певним видом окільцьованих просторів і відображення ƒ:X→Y між ними називається регулярним, якщо воно є морфізмом локально окільцьованих просторів.

Композиція регулярних відображень є регулярним відображенням; тому алгебричні многовиди утворюють категорію морфізмами якої є регулярні відображення.

Регулярні відображення між афінними многовидами утворюють контраваріантну однозначну відповідність з гомоморфізмами між координатними кільцями: якщо ƒ:X→Y є морфізмом афінних многовидів, тоді він задає k-гомоморфізм

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

де ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ — координатні кільця многовидів X і Y; дане означення є добре заданим оскільки ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ є многочленом щодо елементів ${\displaystyle k[X]}$. Навпаки, якщо ${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$ є k-гомоморфізмом афінних алгебр, то він задає морфізм

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

таким чином: записавши ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

де ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ є образами елементів ${\displaystyle y_{i}}$.

Виконуються рівності ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$ і ${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$ Зокрема, f є ізоморфізмом афінних многовидів, якщо і тільки якщо f^# є ізоморфізмом координатних кілець.

Наприклад, якщо X є замкнутим підмноговидом афінного многовида Y і ƒ є включенням, то ƒ^# є обмеженням регулярної функції з Y на X.

Якщо Y є рівним A¹ регулярне відображення ƒ:X→A¹ називається регулярною функцією. Регулярні функції є алгебричним аналогом гладких функцій у диференціальній геометрії. Кільце регулярних функцій є фундаментальним об'єктом досліджень афінної алгебричної геометрії. Єдиними регулярними функціями на є константи (цей факт можна розглядати як алгебричний аналог теореми Ліувіля в комплексному аналізі).

Функція ƒ:X→A¹ є регулярною в точці x якщо, в деякому афінному околі точки x, вона є раціональною функцією регулярною в точці x; тобто якщо існують деякі регулярні функції g, h в афінному околі x, такі що f = g/h і h не рівна нулю в точці x.

Якщо X є квазіпроєктивним многовидом, тобто відкритим підмноговидом проєктивного многовида, тоді поле функцій k(X) є рівним полю функцій замикання ${\displaystyle {\overline {X}}}$ многовида X і тому раціональні функції на X мають вид g/h для деяких однорідних елементів g, h однакового степеня ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ від однорідних координат проєктивного многовида ${\displaystyle {\overline {X}}}$. Тоді раціональна функція f на X є регулярною в точці x, якщо і тільки якщо існують однорідні елементи g, h однакового степеня в ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$, для яких f = g/h і h не рівний нулю в точці x. Цю властивість можна також взяти за означення регулярних функцій.

Якщо X = Spec A і Y = Spec B є афінними схемами, тоді гомоморфізм кілець φ : B → A задає морфізм схем

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

визначений через прообрази простих ідеалів. Всі морфізми афінних схем задаються подібним чином і за допомогою склеювання таких морфізмів вводиться поняття морфізмів загальних схем.

Якщо X, Y є афінними многовидами, тобто A і B є областями цілісності і скінченнопородженими алгебрами над алгебрично замкнутим полем k, то, розглядаючи лише замкнуті точки, отримуємо еквівалентне означення регулярності відображення. (Доведення: якщо ƒ : X → Y є морфізмом, то записавши ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$, потрібно довести, що

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ є максимальними ідеалами точок x і f(x); тобто, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$. Це відразу випливає з означень.)

Як наслідок категорію афінних многовидів можна ідентифікувати як повну підкатегорію категорії афінних схем над полем k. Оскільки морфізми довільних многовидів одержуються склеюваннями морфізмів афінних многовиди як і морфізми схем з морфізмів афінних схем, категорія многовидів є повною підкатегорією категорії схем над полем k.

• Регулярними функціями на Aⁿ є многочлени від n змінних; регулярними функціями на Pⁿ є лише константи.
• Нехай X — афінна крива ${\displaystyle y=x^{2}}$. Тоді відображення

${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$

є морфізмом; воно є бієкцією із оберненим відображенням ${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$. Оскільки g теж є морфізмом, то f є ізоморфізмом многовидів.

• Нехай X — афінна крива ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$. Тоді

${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$

є морфізмом. Йому відповідає гомоморфізм кілець

${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$

який є ін'єктивним (оскільки f є сюр'єктивним).

• В попередньому прикладі, нехай U = A¹ − {1}. Оскільки U є доповненням гіперплощини t = 1, то U є афінним многовидом. Відображення ${\displaystyle f:U\to X}$ є бієкцією. Але відповідний гомоморфізм кілець є включенням ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$, що не є ізоморфізмом, тож f |_U теж не є ізоморфізмом многовидів.
• Нехай X — афінна крива x² + y² = 1 і

${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}}$.

Тоді f є раціональною функцією на X. Вона є регулярною на (0, 1) оскільки як раціональна функція на X, f може бути записана як ${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$.

• Нехай X = A² − (0, 0). Тоді X є алгебричним многовидом оскільки X є відкритою підмножиною многовида. Якщо f є регулярною функцією на X, тоді f є регулярною на ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ і належить ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$. Також вона належить ${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$. Тому:

  ${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$

де g, h є многочленами з k[x, y]. Як наслідок g ділиться на xⁿ і f є многочленом. Тому кільце регулярних функцій на X рівне k[x, y]. (Тому, зокрема, X не є афінним многовидок; в іншому випадку, мало б бути X = A².)

• Припустимо ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$ ідентифікуючи точки (x : 1) з точками x на A¹ і ∞ = (1 : 0). Існує автоморфізм σ многовида P¹ заданий як σ(x : y) = (y : x); зокрема, σ переставляє 0 і ∞. якщо f є раціональною функцією на P¹, Тоді

${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$

і f є регулярною у ∞ якщо і тільки якщо f(1/z) є регулярною в нулі.

• Для довільних алгебричних многовидів X, Y, проєкція

  ${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$

є морфізмом многовидів. Якщо X і Y є афінними, то відповідний гомоморфізм кілець:

${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$

де ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$.

Морфізм між многовидами є неперервним відображенням щодо топології Зариського.

Образ морфізма многовидів може не бути відкритою чи замкнутою множиною (наприклад, образ відображення ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$). Якщо f є морфізмом між многовидами, то образ f містить відкриту щільну підмножину його замикання.

Морфізм ƒ:X→Y алгебричних многовидів називається домінантним якщо його образ є щільною множиною. Для такого f, якщо V є непустою відкритою афінною підмножиною многовида Y, то існує непуста відкрита афінна підмножина U многовида X, для якої ƒ(U) ⊂ V, і тоді ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$ є ін'єкцією. Тобто домінантне відображення індукує ін'єкції на рівні полів функцій:

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

де границя береться по всіх непустих афінних відкритих підмножинах Y. Навпаки, кожне включення полів ${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$ індукується домінантним раціональним відображенням з X в Y.^[1] Відповідно дана конструкція визначає контраваріантну еквівалентність між категорією алгебричних многовидів над полем k і домінантних раціональних відображень між ними і категорією скінченнопороджених розширень поля k.^[2]

Якщо X є гладкою повною кривою (Наприклад, P¹) і якщо f є раціональним відображенням з X у проєктивний простір P^m, то f є a регулярним відображенням X → P^m.^[3] Зокрема, коли X є гладкою повною кривою, будь-яка раціональна функція на X може розглядатися як морфізм X → P¹ і, навпаки, такий морфізм як раціональна функція на X.

Для нормального многовида (зокрема гладкого многовида) раціональна функція є регулярною, якщо і тільки якщо вона не має полюсів корозмірності 1.

Морфізм між алгебричними многовидами, що є гомеоморфізмом топологічних просторів, не обов'язково буде ізоморфізмом (контрприкладом є морфізм Фробеніуса ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$.) Навпаки, якщо f бієктивним біраціональним відображенням у нормальний многовид, то f є бірегулярним. (Головна теорема Зариського.)

Регулярне відображення між комплексними алгебричними многовидами є голоморфним. Зокрема регулярне відображення на комплексну пряму є голоморфною функцією.

Нехай

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

є морфізмом з проєктивного многовида в проєктивний простір і x — точка в X. Тоді деяка i-та однорідна координата точки f(x) є ненульовою; наприклад, i = 0 для простоти. Тоді, з неперервності, існує відкритий афінний окіл U точки x такий що

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

є морфізмом, де y_i позначає однорідні координати. Область значень у цьому випадку є афінним простором A^m, якщо ідентифікувати ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$. Тому, згідно з означенням, обмеження f |_U задається як

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

де g_i є регулярними функціями на U. Оскільки X є проєктивним многовидом, кожна g_i є часткою однорідних елементів однакового степеня однорідного координатного кільця k[X] многовида X. Ці частки можна упорядкувати так, що вони матимуть спільний однорідний знаменник f₀. Тоді можна записати g_i = f_i/f₀ для деяких однорідних елементів f_i у k[X]. Повертаючись до однорідних координат,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

для всіх x у U і згідно з неперервністю для всіх x з X, для яких не всі одночасно f_i приймають нульове значення. Якщо всі одночасно f_i приймають нульове значення в точці x многовида X, то, згідно з описаною вище процедурою, можна обрати f_i, які не приймають одночасно нульове значення в цій точці.

Описане вище насправді є справедливим для довільного квазіпроєктивного многовида X, що є відкритим підмноговидом проєктивного многовида ${\displaystyle {\overline {X}}}$, з тією різницею, що f_i належать однорідному координатному кільцю многовида ${\displaystyle {\overline {X}}}$.

Зауваження: Написане вище не означає що морфізм з проєктивного многовида в проєктивний простір задається єдиною множиною многочленів (як у афінному випадку). Наприклад, нехай X — коніка ${\displaystyle y^{2}=xz}$ в P². Тоді два відображення ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ і ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ узгоджуються на відкритій підмножині ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ коніки X (оскільки ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$) і визначають морфізм ${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$.

Важливим результатом є теорема:^[4] Нехай f: X → Y — домінуючий морфізм алгебричних многовидів, і r = dim X − dim Y. Тоді

1. Для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y і кожної незвідної компоненти Z прообразу ${\displaystyle f^{-1}(W)}$, що домінує W,

   ${\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r.}$

2. Існує непуста відкрита підмножина U в Y, для якої (a) ${\displaystyle U\subset f(X)}$ і (b) для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y з непустим перетином з U і кожної незвідної компоненти Z прообразу ${\displaystyle f^{-1}(W)}$ з непустим перетином з ${\displaystyle f^{-1}(U)}$,

   ${\displaystyle \dim Z=\dim W+r.}$

Нехай f: X → Y — морфізм алгебричних многовидів. Для кожної точки x з X, позначимо

${\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z,}$ де Z — незвідна компонента ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$, що містить x.

Тоді e є верхньою напівнеперервною функцією, тобто для кожного цілого числа n, множина

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}$

є замкнутою.

• Алгебричний многовид
• Окільцьований простір

• William Fulton, Intersection theory 2-ге видання
• Робін Гартсгорн^[en] (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• Milne, Algebraic geometry [Архівовано 13 листопада 2017 у Wayback Machine.], стара версія v. 5.xx.
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (вид. 2nd). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2.