Досконалий степінь — додатне ціле число ${\displaystyle n}$, що є цілим степенем ${\displaystyle k}$ додатного цілого числа ${\displaystyle m}$: ${\displaystyle n=m^{k}}$. При ${\displaystyle k=2,3}$ число ${\displaystyle n}$ називається відповідно досконалим (повним) квадратом та досконалим кубом. Іноді числа 0 та 1 також вважаються досконалими степенями (оскільки ${\displaystyle 0^{k}=0}$ і ${\displaystyle 1^{k}=1}$ для будь-якого ${\displaystyle k>0}$).

Послідовність досконалих степенів можна сформувати перебором можливих значень для ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle k}$; перші кілька її членів (включно з повторюваними)^[1]:

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

Перші досконалі степені без дублікатів такі:

(іноді 0 і 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Сума обернених досконалих степенів (включно з дублікатами, такими як ${\displaystyle 3^{4}=9^{2}=81}$) дорівнює 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1}$,

що можна довести так:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1}$.

Сума ряду обернених величин досконалих степенів (за винятком одиниці) без дублікатів дорівнює^[2]:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0{,}874464368\dots }$,

де ${\displaystyle \mu (k)}$ — функція Мебіуса, а ${\displaystyle \zeta (k)}$ — дзета-функція Рімана.

Згідно з Ейлером, в одному із загублених листів Гольдбах показав, що сума чисел, обернених до ${\displaystyle n_{i}-1}$ із послідовності досконалих степенів ${\displaystyle \{n_{i}\}}$ без одиниці і дублікатів дорівнює 1:

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1}$,

іноді це твердження називають теоремою Гольдбаха — Ейлера.

2002 року Преда Михейлеску^[ro] довів, що єдина пара послідовних досконалих степенів — це ${\displaystyle 2^{3}=8,3^{2}=9}$, Тим самим довівши гіпотезу Каталана.

Невирішена проблема — гіпотеза Піллаї, згідно з якою для будь-якого заданого додатного цілого числа ${\displaystyle k}$ існує тільки скінченне число пар досконалих степенів, різниця яких дорівнює ${\displaystyle k}$.

Виявити, чи є дане натуральне число ${\displaystyle n}$ досконалим степенем, можна багатьма способами різного рівня складності. Один із найпростіших способів — розглянути всі можливі значення для ${\displaystyle k}$ за кожним із дільників числа ${\displaystyle n}$ аж до ${\displaystyle k\leqslant \log _{2}n}$. Якщо дільники ${\displaystyle n}$ рівні ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$, то одне зі значень ${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$ має дорівнювати ${\displaystyle n}$, якщо ${\displaystyle n}$ дійсно є досконалим степенем.

Цей метод можна відразу спростити, натомість розглядаючи тільки прості значення ${\displaystyle k}$, оскільки для складеного ${\displaystyle k=ap}$, де ${\displaystyle p}$ — просте число, ${\displaystyle n=m^{k}}$ можна переписати як ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$. Звідси випливає, що мінімальне значення ${\displaystyle k}$ обов'язково має бути простим.

Якщо відома повна факторизація ${\displaystyle n}$, наприклад, ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$, де ${\displaystyle p_{i}}$ — різні прості числа, то ${\displaystyle n}$ — досконалий степінь тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$ (${\displaystyle \gcd }$ — найбільший спільний дільник). Наприклад, для ${\displaystyle n=2^{96}*3^{60}*7^{24}}$: оскільки ${\displaystyle \gcd(96,60,24)=12}$, ${\displaystyle n}$ — це досконалий 12-й степінь (та досконалий 6-й степінь, 4-й степінь, куб та квадрат, оскільки 6, 4, 3 і 2 є дільниками 12).

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 року (Pdf) [Архівовано 22 квітня 2022 у Wayback Machine.]