Функція Мебіуса

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2019)

Функція Мебіуса $\mu (n)$ — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.

Означення

$\mu (n)$ визначена на множині всіх натуральних чисел $n$ і набуває значення ${-1,\;0,\;1}$ в залежності від вигляду розкладання числа $n$ на прості множники:

$\mu (n)=1$ , якщо $n=1$ ;
$\mu (n)=0$ , якщо $n$ ділиться на квадрат простого числа;
$\mu (n)=(-1)^{k}$ , якщо канонічний розклад $n$ має вигляд $n=p_{1}p_{2}...p_{k}$ , де прості множники різні.

Властивості й застосування

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел $a$ і $b$ виконується рівність

\mu (ab)=\mu (a)\mu (b).

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа $n\geq 2$ дорівнює нулю:

\sum _{d|n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1\\0,&n>1\end{matrix}}\right.

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера $\varphi (n)$ таким співвідношенням:

\varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}},

де в правій частині перераховуються всі дільники числа $n$ .

Обернення Мебіуса

Перша формула обернення Мебіуса

Для арифметичних функцій $f$ і $g$ ,

\ g(n)=\sum _{d|n}f(d)

тоді і тільки тоді, коли

f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)

Цю рівність також називають принципом обернення Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831—1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809—1882).

Друга формула обернення Мебіуса

Для дійснозначних функцій $f(x)$ і $g(x)$ , визначених при $x\geqslant 1$ ,

g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)

тоді і тільки тоді, коли

f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Read other articles:

Girishawardhana

GirishawardhanaGirishawardhana Dyah SuryawikramaMaharaja Majapahit ke 9Berkuasa Majapahit (1456-1466)PendahuluRajasawardhanaPenerusSinghawikramawardhanaInformasi pribadiKelahiranDyah SuryawikramaKematian1466PemakamanCandi Waji, Puri, Mojokerto, Jawa TimurWangsaRajasaAyahKertawijayaIbuJayawardhanī Dyah Jayeswari, Bhre DahaPasanganMahāmahisī Dyah Sawitri, Bhre Kabalan Keluarga kerajaan Majapahit Kertarajasa Jayawardhana (Raden Wijaya) Permaisuri: Sri Parameswari Dyah Dewi Tribhuwaneswar...

Markah jalan

Markah pemisah lajur lalu lintas dan rampa keluar yang dilengkapi dengan markah chevron di jalan tol Jagorawi Markah jalan adalah suatu alat atau benda yang berada di permukaan jalan yang berfungsi untuk memberi suatu informasi tentang jalan. Markah jalan juga dapat diterapkan di fasilitas lain yang digunakan kendaraan untuk parkir maupun daerah khusus dengan kegunaan lainnya. Markah jalan digunakan di permukaan jalan untuk mengarahkan dan memberi informasi kepada pengendara maupun pejalan ka...

A.C.A.B.

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Grafiti ACAB di Barriera di Milano, Torino, Italia A.C.A.B. adalah sebuah akronim dari bahasa Inggris yang memiliki kepanjangan All Cops Are Bastards[1] (Indonesia: Semua Polisi Adalah Bajingan). Akronim ini digunakan sebagai slogan dalam grafi...

مسيحيون يهود

جزء من سلسة مقالات عنالمسيحية اليهودية الرموز المسيح يوحنا المعمدان بطرس تلاميذ المسيح يعقوب البار سمعان بن كليوباس يوسي بولس الطرسوسي جماعات قديمة إبيونية الألكسيون الأسينيون الناصريون جماعات معاصرة حركة مسيحية عبرية [الإنجليزية] يهود مسيانيون مسيحيون مار توما التاري�...

Gwoyeu Romatzyh

Lin Yutang, le premier à proposer un énoncé alphabétique des tons Zhao Yuanren, qui dirigea le projet du Gwoyeu Romatzyh, en jeune homme vers 1916 Le Gwoyeu Romatzyh (chinois simplifié : 国语罗马字 ; chinois traditionnel : 國語羅馬字 ; pinyin : guóyǔ luómǎzì ; litt. « romanisation nationale »[1]) est un système de transcription du chinois mandarin en alphabet latin. Le système fut inventé par Zhao Yuanren et dévelop...

Gate deities of the underworld

Ancient Egyptian deitiesPart of a series onAncient Egyptian religion Beliefs Afterlife Cosmology Duat Ma'at Mythology Index Numerology Philosophy Soul Practices Funerals Offerings: Offering formula Temples Priestess of Hathor Pyramids Deities (list)Ogdoad Amun Amunet Hauhet Heh Kauket Kek Naunet Nu Ennead Atum Geb Isis Nephthys Nut Osiris Set Shu Tefnut A Aati Aker Akhty Amenhotep, son of Hapu Amesemi Ammit Am-heh Amu-Aa Anat Andjety Anhur Anput Anubis Anuket Apedemak Apep Apis Apt Aqen Arens...

Ahmad Ghazali

Iranian theologian and writer Ahmad Ghazālīاحمد غزالیBornMajd al-Dīn Abū al-Fotuḥ Aḥmad Ghazālī1061 (1061)near Tūs, KhorasanDied1123 (1124)Qazvin, IranKnown forPersian Sufi mystic, writer, preacher, and head of Al-Nizamiyya of BaghdadNotable workSawāneḥ, Risālat al-ṭayr, Al-tajrīd fī kalimat al-tawḥīd, Baḥr al-maḥabba fī asrār al-mawadda, Bawāriq al-ilmāʾ fī l-radd ‘alā man yuḥarrim al-samāʾRelativesAbū Ḥāmid Muḥammad al-Gha...

تحقيق جنائي

تحقيق جنائيقاعدة الأسد الجوية، العراق، ضابط شرطة عراقي في دورة التحقيقات الجنائية الأساسية، يقوم بوضع علامات مرقمة في مسرح جريمة وهمية لتبيين الأدلة أثناء التمرين النهائيمعلومات عامةصنف فرعي من نشاطمشروع إنفاذ القانونعمل قانوني تسبب في الادعاء العامتبرئة تعديل - تعديل ...

Nina Morrison (judge)

American judge (born 1970) For the Australian rules footballer, see Nina Morrison. Nina MorrisonJudge of the United States District Court for the Eastern District of New YorkIncumbentAssumed office August 11, 2022Appointed byJoe BidenPreceded byDora Irizarry Personal detailsBorn1970 (age 53–54)New York City, New York, U.S.ParentAlan Morrison (father)EducationYale University (BA)New York University (JD) Nina Rauh Morrison (born 1970)[1] is an American lawyer who serves a...

Cardiopteridaceae

Cardiopteridaceae Citronella moorei Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae (tanpa takson): Tracheophyta (tanpa takson): Angiospermae (tanpa takson): Eudikotil (tanpa takson): Asterid Ordo: Aquifoliales Famili: Cardiopteridaceae Genera lihat teks Cardiopteridaceae adalah salah satu famili anggota tumbuhan berbunga. Menurut Sistem klasifikasi APG II suku ini termasuk dalam ordo Aquifoliales. Dalam Sistem Cronquist suku ini masuk dalam Celastrales. Pengidentifikasi takson Wikidata: Q131663 Wikisp...

October 2007 California wildfires

Series of wildfires in California October 2007 California wildfiresNASA satellite photo (provided by NSPO, Taiwan National Space Organization) from October 22, 2007, showing the active fire zones and smoke plumes.Date(s)October 20, 2007[1] –November 16, 2007[2]LocationSouthern CaliforniaStatisticsTotal fires30[3]Burned area972,147 acres (3,900 km2)[3][4][5][6]Land useMixed, residential, and wildlandsImpactsDeaths17[5][...

Concepción, Paraguay

For other uses, see Concepción#Geography. City and district in Concepción, ParaguayConcepciónCity and district FlagCoat of armsConcepciónCoordinates: 23°24′0″S 57°25′48″W / 23.40000°S 57.43000°W / -23.40000; -57.43000CountryParaguayDepartmentConcepciónGovernment • Intendente municipalLuis Herminio Acosta Paniagua (PLRA)Area • Total8,490 km2 (3,280 sq mi)Elevation44 m (144 ft)Population (2008) �...

Alan Scarfe

Canadian actor (1946–2024) For the Episcopal bishop, see Alan Scarfe (bishop). Alan ScarfeAlan Scarfe, 2005BornAlan John Scarfe(1946-06-08)8 June 1946Harpenden, EnglandDied28 April 2024(2024-04-28) (aged 77)Longueuil, Quebec, CanadaNationalityCanadianOccupation(s)Actor, stage director, authorYears active1962–2007Spouse Barbara March (m. 1979; died 2019)ChildrenJonathan Scarfe Alan John Scarfe[1] (8 June 1946 – 28 Apri...

فيليكس كاستيلو

فيليكس كاستيلو معلومات شخصية الميلاد 21 فبراير 1928(1928-02-21)تشينتشا ألتا الوفاة 12 أكتوبر 1978 (50 سنة) ليما مركز اللعب نصف الجناح الجنسية بيرو المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1945–1949 أليانزا ليما 1950–1951 أمريكا دي كالي 1952–1960 أليانزا ليما المنتخب الوطني 1947–1956 �...

Kayaking

Use of a kayak on water This article is about double bladed paddle powered propulsion in general. For other uses, see Kayaking (disambiguation). A woman kayaking in a lagoon Kayaking in whitewater rapids Kayaking is the use of a kayak for moving over water. It is distinguished from canoeing by the sitting position of the paddler and the number of blades on the paddle. A kayak is a low-to-the-water, canoe-like boat in which the paddler sits facing forward, legs in front, using a double-bladed ...

History of Soviet Russia and the Soviet Union (1917–1927)

Period of history of Russia This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: History of Soviet Russia and the Soviet Union 1917–1927 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2007) (Learn how and when to remove this message) 1917–1927LocationSoviet Russia → Soviet UnionIncludingFebruary R...

حسين سري باشا

حسين سري باشا معلومات شخصية الميلاد 1894القاهرة[1] تاريخ الوفاة 1960 مواطنة مصر[1] الأب إسماعيل سري باشا مناصب وزير الموارد المائية والري في المنصب30 ديسمبر 1937 – 27 أبريل 1938 وزير الموارد المائية والري في المنصب27 أبريل 1938 – 24 يونيو 1938 وزير ال...

Golf in Wales

Celtic Manor Resort host to the 2010 Ryder Cup Golf is a popular sport in Wales. Although the sport of golf in Great Britain is most associated with Scotland, where it was established and developed, Wales can record its first courses back to the 1880s, and today has over 200 clubs. The first amateur golf competition was held in 1895, and the first professional championship was in 1904. Wales has produced several players of note, including one player, Ian Woosnam, who has won one of the Men's...

Ian Gough

Wales international rugby union footballer Rugby playerIan GoughBirth nameIan Mervyn GoughDate of birth (1976-11-10) 10 November 1976 (age 47)Place of birthPanteg, Torfaen, WalesHeight6 ft 5 in (1.96 m)Weight18 st 10 lb (119 kg)SchoolLlantarnamRugby union careerPosition(s) Second rowAmateur team(s)Years Team Apps (Points)1995 Toronto Nomads ()Senior careerYears Team Apps (Points)1998–20001996–20032003–20072007–20132013–20142014–2015 PontypriddNew...

Салмакида

Салмакида и Гермафродит Салмаки́да (Салма́ция) — персонаж древнегреческой мифологии, нимфа, жившая при источнике в Карии, у которого в своё время останавливался отдохнуть и освежиться в водоёме Гермафродит. Нимфа, прильнув к красавцу-юноше в воде, слилась с ним в одно ...