Отац му је по занимању био ћурчија. Још у најранијим данима живота веома је успешно подржавао гласове којима их је учио стари доловачки учитељ Павле Вишњички, уз кога је стасао и истицао се међу вршњацима у појању.[2] У родном месту је похађао српску и немачку основну школу, у Панчеву нижу (са четири разреда), а у Сремским Карловцима три виша разреда гимназије.[3]
Као ђак се бавио компоновањем, дириговањем и сликарством.[4] Још као дечак је био познат по свом таленту, али и по бунтовничком понашању.[5] За свесловенску прославу 1000. годишњице Ћирила и Методија (1863) дириговао је гимназијским хором[6] у Сремским Карловцима.[2] За осам дана је успео да научи песме и диригује гимназијским хором.[7] Међу припремљеним се налазила и његова композиција за патриотску песму за мушки хор Где је Српска Војводина?,[8] на речи песме Хај, коју је Стеван Владислав Каћански, објавио у Даници (1861). Она је поред песама Устај, устај Србине, Радо иде Србин у војнике, Оро кличе са висине, постала најпопуларнија химна свог времена, коју су прихватили сви слојеви народа.[9] Због револуционарног карактера је избачен из седмог разреда гимназије, на захтев патријарха Самуила Маширевића.[10]
Према неким изворима, године 1865. године је постао студент технике у Бечу, а по повратку из Беча, Јован Ђорђевић Фотер га је 28. априла1865. године примио за „капелника“[6] на место дотадашњег капелника, чешког музичара Адолфа Лифке,[9] у Српско народно позориште у Новом Саду,[6] где је радио и као учитељ певања.[11] Ту је упознао и своју будућу супругу Софију, глумицу и са њом се оженио 1867. године.[12] У овом браку добили су ћерку Милицу (касније Милка Марковић), будућу чувену глумицу и прву српску редитељку.[13]
За Српско народно позориште у Новом Саду био је везан од 1865. године, па до смрти 1873. године. Показао је велики таленат и зрелост у свом раду. Такође је компоновао музику за седамнаест позоришних комада, а многе његове композиције извођене су и на концертима соло певача.[2] Његов највећи допринос је у развоју вокалне музике, који се надовезује на рад Корнелија Станковића. Све своје композиције је урадио у народном духу.[6] Бавио се и писањем црквене музике,[6] а са гимназијским хором је учествовао на литургијама у Саборној цркви у Новом Саду. Писао је уџбенике за учење музике, међу којима и први уџбеник за хоровође на српском језику.[11]
Поред свега бавио се и сликарством у време док је био ђак Карловачке гимназије. У Бечу је Коста Суботић издао његову слику Убиство књаза Михајла.
Године 1871. изабрала је панчевачка црквена општина Максимовића за свог питомца[8] и послала га да изучава теорију музике у "оргуљској школи" у Прагу. После шеснаестомесечних студија на оргуљашкој школи,[6] Аксентије Максимовић је умро у Прагу[14] (1. фебруара1873. године). Подмукла болест, туберкулоза, прекинула је његов стваралачки елан; умро је у 26. години. Сахранили су га чешки уметници из из уметничког друштва "Умелецка беседа", на Вољшанском гробљу у Прагу.[11] Споменик на гробу поставила је после три деценије кћерка Милка Марковић, позната позоришна уметница.
Основна школа у Долову носи његово име, као и једна улица. По његовом имену назване су и улице у Панчеву и Новом Саду.
Заслуге
Душан Јанковић је 1887. године писао у новосадској "Застави" о Максимовићу, и притом истакао његов лични значај за српство.
Као прво, наставио је путем којим је кренуо његов велики претходник Корнелије Станковић. Као друго, знатно је унапредио певање у Српском народном позоришту (у представама); подигао га на високи ниво. И као треће, Аксентије је почео први код Срба, да пише "веџбе" (ноте) за свирање и певање.[8]
У његову част
Све његове преостале композиције, откупило је Српско народно позориште 1890. од његове ћерке Милке.[6]
У Долову још увек постоји кућа из прве половине 19. века, у којој се родио и у којој је живео у Долову, са потпуно очуваном уличном фасадом.[15] Улице у Долову, Панчеву и Новом Саду носе његово име.[16]
Намераво је да изда и други део Мале букварске читанке - Консонантисање и Велику букварску читанку за народ, које је већ имао припремљене, али га је смрт спречила у томе.[16]
