PROFILPELAJAR.COM

Центр Шпикера
Центр Шпикера
	; Центр Шпикера есть инцентр серединного треугольника
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(10)
Связанные точки
Антидополнительная[исп.]	центр вписанной окружности

Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки, проходящей по периметру треугольника^[1]^[2].

Свойства

Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника^[1]. То есть центр Шпикера $\triangle ABC$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник $\triangle ABC$ (в его дополнительный треугольник)^[5]. Эта окружность известна как окружность Шпикера^[англ.].

Центр Шпикера является центром кливеров треугольника $\triangle ABC$ ^[1]. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера $S$ . (Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)

Центр Шпикера, инцентр ( $I$ ), центроид ( $G$ ) и точка Нагеля ( $M$ ) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того^[6],

\left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.

Центр Шпикера $\triangle ABC$ $\triangle ABC$ является точкой пересечений прямых $AX$ $AX$ , $BY$ $BY$ и $CZ$ $CZ$ , где $\triangle XBC$ $\triangle XBC$ , $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ $\triangle ZAB$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$ $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$ ^[7].
- Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона $N_{1}$ , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых $AX$ , $BY$ и $CZ$ , где $\triangle XBC$ , $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $30^{\circ }$ .

↑ ¹ ² ³ Honsberger, 1995, с. 3–4.
↑ Kimberling, Clark Spieker center (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 16 мая 2012 года.
↑ Spieker, 1888.
↑ ¹ ² ³ Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 24 ноября 2015 года.
↑ Серединный треугольник данного $\triangle ABC$ называют дополнительным треугольником треугольника ABC
↑ A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 10 мая 2012 года.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Odenhal, 2010, с. 35–40.

Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.