Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем^[1]. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц^[2]. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком^[3].

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов^[4].

Пусть ${\displaystyle H}$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами ${\displaystyle a(f)}$, где ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle H}$, с учётом соотношений:

${\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0}$

${\displaystyle [a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,}$

в обозначениях бра и кет.

Отображение ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ из ${\displaystyle H}$ в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным антилинейным^[англ.]. Сопряженный к элементу ${\displaystyle a(f)}$ является ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$, и отображение ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ является комплексным линейным^[англ.] в H. Таким образом, ${\displaystyle H}$ используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент ${\displaystyle a(f)}$ будет реализован как оператор уничтожения, а ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ тесно связана, но не идентична алгебре Вейля^[англ.].

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над ${\displaystyle H}$ строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

${\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0}$

${\displaystyle \{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .}$

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если ${\displaystyle H}$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится ${\displaystyle C^{*}}$ алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора ${\displaystyle a(f)}$ заключается в уничтожении частицы в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ тогда как ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ создает частицу в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ без частиц, характеризуемое как:

${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$

Если ${\displaystyle |f\rangle }$ отнормирован, так что ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$, тогда ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ дает число частиц в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

В квантовых теориях поля и задаче многих тел^[англ.] используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$. Эти операторы изменяют собственные значения оператора числа частиц^[англ.],

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ${\displaystyle i}$) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел ${\displaystyle (n,l,m,s)}$ используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

где ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ — коммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$,

${\displaystyle \{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.}$

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть ${\displaystyle i\neq j}$) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

• Пространство Фока
• Пространство Сигала — Баргмана^[англ.]
• Оптическое фазовое пространство^[англ.]
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Преобразование Йордана — Вигнера^[англ.]
• Отображение Йордана^[англ.]
• Преобразование Клейна^[англ.]
• Каноническое коммутационное соотношение

• Р. Фейнман. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
• Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.