Кортеж — упорядоченный набор фиксированной длины.

Пусть даны множества ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$, не обязательно различные.

Тогда корте́ж длины n^[1][2], упорядоченный набор длины n^[1], упорядоченный n-набор^[2] или n-ка^[1][3] — упорядоченная последовательность из n элементов ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ где ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ для ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n.}$ Кортеж обозначается перечислением координат в угловых или круглых скобках^[1]:

${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

или

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

Элемент ${\displaystyle x_{i}}$ называется i-й координатой^[1][4] (проекцией^[2], компонентой^[2][4]) кортежа ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle .}$

Число n называют длиной или размерностью кортежа^[2].

Два кортежа равны, если равны их длины и соответствующие элементы^[2][4]:

${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle =\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle ,}$ если ${\displaystyle a_{i}=b_{i},i={\overline {1,n}}.}$

Пример кортежа — арифметический вектор^[2].

Декартово произведение n множеств — множество всех кортежей длины n, координаты которых взяты из этих множеств^[1][5][6]:

${\displaystyle A_{1}\times \ldots \times A_{n}=\{\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \mid x_{i}\in A_{i},i={\overline {1,n}}\}.}$

Кортежи длины 2, 3, 4, 5, … также носят названия «упорядоченная пара», «упорядоченная тройка», «упорядоченная четвёрка», «упорядоченная пятёрка» и т. д.^[2]

В рамках теории множеств кортежи можно индуктивно поставить в соответствие множествам^[1][7][8], например, следующим образом^[1][7]:

• ${\displaystyle \langle \rangle \rightleftharpoons \emptyset ,}$
• ${\displaystyle \langle x_{1}\rangle \rightleftharpoons x_{1},}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle \rightleftharpoons \{\{x_{1}\},\{x_{1},x_{2}\}\},}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},x_{3}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},x_{2}\rangle ,x_{3}\rangle ,}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},x_{2},x_{3}\rangle ,x_{4}\rangle ,\ldots }$
• ${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},\ldots ,x_{n-1}\rangle ,x_{n}\rangle .}$

Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например, ориентированный граф определяется как пара ${\displaystyle \langle V,E\rangle ,}$ где V — это множество вершин, а E — подмножество пар в ${\displaystyle V\times V,}$ соответствующих дугам графа^[9]. Точка в n-мерном пространстве действительных чисел определяется как кортеж длины n, составленный из элементов множества действительных чисел.

Ориентированный мультиграф со множеством вершин V, множеством дуг E и отношением инцидентности ${\displaystyle P\subseteq V\times E\times V}$ может быть определён как упорядоченная тройка ${\displaystyle \langle V,E,P\rangle ,}$ причём ${\displaystyle \langle a,e,b\rangle \in P}$ тогда и только тогда, когда дуга e выходит из вершины a и заходит в вершину b^[10].

В некоторых языках программирования, например, Python или ML, кортеж как тип данных встроен в язык. Пример использования кортежа в языке Python:

a = (1, 3.14, 'cat')
print(a[0]) # Напечатать первый элемент кортежа

В языках программирования со статической типизацией кортеж отличается от списка тем, что элементы кортежа могут принадлежать разным типам и набор таких типов заранее определён типом кортежа, а значит, и размер кортежа также определён. С другой стороны, коллекции (списки, массивы) имеют ограничение по типу хранимых элементов, но не имеют ограничения на длину. Так, например, в языке Rust функция может вернуть несколько значений с помощью упаковки в кортеж:

fn div_with_remainder(a: i32, b: i32) -> (i32, i32, String) {
    let tmp = (a/b, a%b);
    (tmp.0, tmp.1, format!("{} + {}", tmp.0, tmp.1))
}

let (res, rem, repr) = div_with_remainder(5,2);

В функциональных языках некаррированные функции нескольких аргументов принимают параметры в виде одного аргумента, являющегося кортежем.

В языке C++ поддержка кортежей реализована как шаблон класса std::tuple^[11] (начиная с C++11^[12]) и в библиотеке Boost Tuple Library^[13].

Кортеж является стандартным типом в платформе .NET начиная с версии 4.0^[14].

В реляционных базах данных кортеж — это элемент отношения. Для N-арного отношения кортеж представляет собой упорядоченный набор из N значений, по одному значению для каждого атрибута отношения, то есть запись (строку) таблицы, если использовать наиболее популярное представление (графическую/физическую интерпретацию) отношения как таблицы.

• Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Издательство НГТУ, 2002. — 280 с. — (Серия «Высшее образование»). ISBN 5-16-000957-4 (ИНФРА-М), ISBN 5-7782-0332-2 (НГТУ)
• Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учебник для вузов / Под редакцией В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — 3-е издание, стереотипное. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 744 с. — ISBN 5-7038-1769-2.
• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клиффорд. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е издание. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.
• Н. Я. Виленкин. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
• Англо-русский словарь математических терминов / Под ред. П. С. Александрова. — 2-е, исправл. и дополн. изд.. — М.: Мир, 1994. — 416 с. — ISBN 5-03-002952-4.
• Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory. — Third edition, revised and expanded. — 1999. — ISBN 0-8247-7915-0.

• В глубь языка Python: 1.9. Кортежи