Закон Бернулли

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.
Механика сплошных сред
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Зако́н Берну́лли[1] (также уравне́ние Берну́лли[2][3], теоре́ма Берну́лли[4][5] или интегра́л Берну́лли[2][6][7]) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости[2] (то есть без вязкости и теплопроводности).

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли[K 1]. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году[12].

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Полное давление
Размерность
Единицы измерения
СИ Дж3 = Па
СГС эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

Здесь

 — плотность жидкости;
 — скорость потока;
 — высота;
 — давление;
 — ускорение свободного падения.

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление» и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

 — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
 — скорость истечения жидкости,
 — атмосферное давление.

Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].

Другие проявления и применения закона Бернулли

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].

Вдоль горизонтальной трубы координата постоянна и уравнение Бернулли принимает вид . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].

Применение в гидравлике

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор[19]
Размерность
Единицы измерения
СИ метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.
 — гидравлическая высота[4] или напор[19],
 — нивелирная высота[4],
 — пьезометрическая высота[4] или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор[19],
 — скоростная высота[4] или скоростной напор[19].

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: , что позволяет ввести функцию давления[22] В этих предположениях величина

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом заменяется на потенциал массовой силы .

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости , интеграл Бернулли в виде [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон[26]

то уравнение Бернулли выражается так[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
 — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,
 — давление и плотность газа,
 — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за тогда скорость истечения выражается через внешнее давление по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:

Термодинамика закона Бернулли

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

где  — энтальпия единицы массы,  — гравитационный потенциал (равный для однородной силы тяжести),  — энтропия единицы массы.

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости[31].

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].

Комментарии

  1. В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости[8][9][10].
  2. «…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»[20].
  3. «Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»[21].
  4. В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как интеграл Коши — Лагранжа[25]

Примечания

  1. 1 2 Ландсберг Г. С. Закон Бернулли, 1985.
  2. 1 2 3 4 Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение, 1988.
  3. Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика, 1933.
  4. 1 2 3 4 5 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24. Теорема Бернулли.
  5. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика, 1964.
  6. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970.
  7. Чёрный Г. Г. Газовая динамика, 1988.
  8. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002.
  9. Михайлов Г. К., 1999, с. 17.
  10. Darrigol O. A history of hydrodynamics, 2005, с. 9.
  11. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002, с. 255, 257.
  12. Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757), с. 331.
  13. 1 2 Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
  14. Чугаев Р. Р. Гидравлика. — Л.: Энергия, 1975. — 600 с.
  15. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §95. Примеры на применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли.
  16. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94, формула (94.6).
  17. Молоканов Ю. К. Процессы и аппараты нефтегазопереработки. — М.: Химия, 1980. — С. 60. — 408 с.
  18. Я. И. Перельман. Отчего притягиваются корабли? Дата обращения: 27 декабря 2018. Архивировано 11 мая 2012 года.
  19. 1 2 3 4 5 Напор, 1992.
  20. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, 1973, Примечание Г. Ю. Степанова, с. 208.
  21. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред, 2000, с. 104.
  22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (9).
  23. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (7).
  24. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VIII. §2, уравнение (2.1).
  25. 1 2 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §42. Интеграл Лагранжа — Коши.
  26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (29).
  27. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (30).
  28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (31).
  29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (2.4).
  30. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VII. §2. Функция давления.
  31. Поль Р. В., Механика, акустика и учение о теплоте, 2013, с. 446.
  32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, §85.
  33. Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — doi:10.1007/BF01051932.
  34. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматлит, 1962. — С. 54. — 248 с.
  35. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В. В. Гогосова. — М.: Мир, 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3.
  36. Зубарев Д. Н., Релятивистская термодинамика, 1994.
  37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (134.11).

Литература

Ссылки

Read other articles:

Torre PwCTorre PwC pada bulan April 2017Informasi umumJenisKantor, HotelLokasiPº de la Castellana 259, CTBA, Madrid, SpanyolMulai dibangun2004Rampung2008PemilikSacyr Vallehermoso[butuh rujukan]TinggiAtap236 m (774 ft)Data teknisJumlah lantai52LiftDibuat oleh Schindler GroupDesain dan konstruksiArsitekCarlos Rubio Carvajal dan Enrique Álvarez-Sala WaltherKontraktor utamaSacyr SAU Torre PwC, sebelumnya bernama Torre Sacyr Vallehermoso,[1] adalah sebuah pencakar langi...

 

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Aktris Pendukung Terbaik Toronto Film Critics Association...

 

Halaman ini berisi artikel tentang Transnistria selama Perang Dunia II. Untuk negara saat ini, lihat Transnistria. Kegubernuran TransnistriaGuvernământul TransnistrieiKegubernuran di Rumania1941–1944Ibu kotaOdessaLuas • 194142.000 km2 (16.000 sq mi)Populasi • 1941 2326224 SejarahEra sejarahPerang Dunia II• Didirikan 19 Agustus 1941• Dibubarkan 29 Januari 1944 Didahului oleh Digantikan oleh Republik Sosialis Soviet Ukraina Republik Sosia...

Découpage cantonal du département de Seine-et-Marne, avec en surimpression les arrondissements (en nuances de bleu) - Carte arrêtée au 1er janvier 2019. Le département de Seine-et-Marne compte 23 cantons depuis le redécoupage cantonal de 2014 (43 cantons auparavant). Histoire Découpage cantonal antérieur à 2015 Liste des 43 cantons du département de Seine-et-Marne, par arrondissement : Les cantons de Seine-et-Marne avaient une population moyenne de 27 762 habitants en 1999...

 

The location of Fuwa District in Gifu. Fuwa (不破郡, Fuwa-gun) is a district located in Gifu Prefecture, Japan. As of July 2011, the district has an estimated population of 36,426.[1] The total area is 106.43 km2. Towns and villages Sekigahara Tarui References ^ 岐阜県の人口・世帯数人口動態統計調査結果. Gifu prefectural website (in Japanese). Gifu Prefecture. Retrieved September 11, 2011. vteGifu PrefectureGifu (capital)Core city Gifu Cities Ena Gero Gujō ...

 

Cet article est une ébauche concernant une localité tchèque. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Rýmařov   Administration Pays Tchéquie Région Moravie-Silésie District Bruntál Région historique Moravie Maire Mandat Luděk Šimko[1],[2] 2018-2022 Code postal 792 01 — 795 01 Indicatif téléphonique international +(420) Démographie Population 8 081 hab. (2021) Densité 133&#...

Media naturalness theory is also known as the psychobiological model. The theory was developed by Ned Kock and attempts to apply Darwinian evolutionary principles to suggest which types of computer-mediated communication will best fit innate human communication capabilities. Media naturalness theory argues that natural selection has resulted in face-to-face communication becoming the most effective way for two people to exchange information. The theory has been applied to human communication...

 

Diskografi Girls' GenerationGirls' Generation pentas pada tahun 2015Album studio9Album rekaman langsung2Album kompilasi2Album video12Video musik43Extended play4Singel28 Anda mungkin harus memiliki dukungan perenderan untuk menghasilkan teks Korea dan Jepang pada article secara benar. Grup vokal perempuan berbasis Korea Selatan, Girls' Generation, merilis delapan album studio (empat di antaranya adalah keluaran ulang di bawah judul berbeda), dua album live, empat album mini, dan dua puluh dela...

 

American politician Arthur W. Coolidge56th Lieutenant Governor of MassachusettsIn officeJanuary 2, 1947 – January 6, 1949GovernorRobert F. BradfordPreceded byRobert F. BradfordSucceeded byCharles F. SullivanPresident of the Massachusetts SenateIn office1945–1946Preceded byJarvis HuntSucceeded byDonald W. NicholsonMember of the Massachusetts Senatefrom the 7th Middlesex DistrictIn office1941–1946Preceded byJoseph R. CottonSucceeded byGeorge Jelly EvansMember of the M...

Suburb of Cardiff, Wales Human settlement in WalesDanescourtSt John the Baptist parish churchDanescourtLocation within CardiffOS grid referenceST1379Principal areaCardiffPreserved countyCardiffCountryWalesSovereign stateUnited KingdomPost townCardiffPostcode districtCF5Dialling code029PoliceSouth WalesFireSouth WalesAmbulanceWelsh UK ParliamentCardiff WestSenedd Cymru – Welsh ParliamentCardiff WestWebsiteDanescourt Community Association List of places...

 

Dawn the humpback whale in the Sacramento River in 2007 Cetaceans are the animals commonly known as whales, dolphins, and porpoises. This list includes individuals from real life or fiction, where fictional individuals are indicated by their source. It is arranged roughly taxonomically. This is a dynamic list and may never be able to satisfy particular standards for completeness. You can help by adding missing items with reliable sources. Baleen whales Main article: Baleen whale Rorquals Mai...

 

Ancient city in Lycia This article is about Telmessos in Lycia (modern Fethiye). For the town in ancient Caria, see Telmessos (Caria). TelmessosShown within TurkeyShow map of TurkeyTelmessos (Near East)Show map of Near EastTelmessos (Eastern Mediterranean)Show map of Eastern MediterraneanLocationFethiye, Muğla Province, TurkeyCoordinates36°37′6″N 29°7′4″E / 36.61833°N 29.11778°E / 36.61833; 29.11778HistoryFoundedPre-10th millennium BCE Painting of Telmesso...

For First Battle, see Battle of The James River (1667). Second Battle of the James River (1673)Part of the Franco-Dutch War and Third Anglo-Dutch WarMap of the battle areaDateJuly 12-13, 1673 (O.S.)July 22-23, 1673 (N.S.)LocationHampton Roads and James River, JamestownResult Dutch Victory [1]Belligerents  Dutch Republic EnglandCommanders and leaders Cornelis Evertsen the Youngest Jacob Binckes Thomas GardinerStrength 9 ships 8 shipsCasualties and losses only 3 men deadno ships lo...

 

Joseph KellawayNascitaKingston, 1º settembre 1824 MorteChatham, 2 ottobre 1880 Luogo di sepolturaMaidstone Road Cemetery Dati militariPaese servito Gran Bretagna Forza armataRoyal Navy Anni di servizio1841 - 1878 GradoCapo Nostromo GuerreGuerra di Crimea Decorazionivedi qui dati tratti da Joseph Kellaway VC[1] voci di militari presenti su Wikipedia Manuale Joseph Kellaway (Kingston, 1º settembre 1824 – Chatham, 2 ottobre 1880) è stato un militare britannico, insignit...

 

 烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/(英文) 乌克兰 乌克兰政府与政治系列条目 宪法 政府 总统 弗拉基米尔·泽连斯基 總統辦公室 国家安全与国防事务委员会 总统代表(英语:Representatives of the President of Ukraine) 总...

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

 

 本表是動態列表,或許永遠不會完結。歡迎您參考可靠來源來查漏補缺。 潛伏於中華民國國軍中的中共間諜列表收錄根據公開資料來源,曾潛伏於中華民國國軍、被中國共產黨聲稱或承認,或者遭中華民國政府調查審判,為中華人民共和國和中國人民解放軍進行間諜行為的人物。以下列表以現今可查知時間為準,正確的間諜活動或洩漏機密時間可能早於或晚於以下所歸�...

 

كرين برينتون معلومات شخصية الميلاد 2 فبراير 1898 [1][2][3]  وينستد  الوفاة 7 سبتمبر 1968 (70 سنة)   ماساتشوستس  مواطنة الولايات المتحدة  عضو في الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم،  والجمعية التاريخية الأمريكية،  والأكاديمية الأمريكية للفنون والآداب&#...

خليج هدسونHudson Bay (بالإنجليزية)baie d'Hudson (بالفرنسية)ᑲᖏᖅᓱᐊᓗᒃ ᐃᓗᐊ (بالإنكتيتوتية)ᐐᓂᐹᒄ (بالmis)Kangiqsualuk ilua (بالإنكتيتوتية)Tasiujarjuaq (بالإنكتيتوتية)Wînipekw (بالmis)Wînipâkw (بالmis) معلومات عامةسميت باسم هنري هدسون[1] الموقع الجغرافي / الإداريالإحداثيات 60°N 85°W / 60°N 85°W / 60;...

 

  此条目页介紹的是萨摩亚独立国。 關於东萨摩亚,請見「美属萨摩亚」。 關於整個薩摩亞群島,請見「薩摩亞群島」。 薩摩亞獨立國Malo Saʻoloto Tutoʻatasi o Sāmoa(萨摩亚語)Independent State of Samoa(英語) 国旗 国徽 格言:Faʻavae i le Atua Sāmoa  (萨摩亚语)“主是萨摩亚的创建者”国歌:自由的旗幟(薩摩亞語:O Le Fuʻa O Le Saʻolotoga O Samoa)首都阿皮亚官方语...