Зако́н Берну́лли[1] (также уравне́ние Берну́лли[2][3], теоре́ма Берну́лли[4][5] или интегра́л Берну́лли[2][6][7]) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравненийгидродинамикиидеальной жидкости[2] (то есть без вязкости и теплопроводности).
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии
Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина[13]. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями и , действует сила , а справа — противоположного направления сила . Скорость и давление в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние , а правая — на расстояние . Работа, совершённая силами давления, равна:
В начале интервала времени объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями и , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента и левого голубого элемента .
Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: После этого равенство даёт: , или .
Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление» и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.
Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
— высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].
Другие проявления и применения закона Бернулли
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].
Вдоль горизонтальной трубы координата постоянна и уравнение Бернулли принимает вид . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].
Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].
Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкоетрение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].
Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: , что позволяет ввести функцию давления[22] В этих предположениях величина
В силу сделанных предположений и (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:
Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор касательный к линии тока, даёт:
так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению, а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости , интеграл Бернулли в виде [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].
— условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.
С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за тогда скорость истечения выражается через внешнее давление по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:
В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию[30] (), поэтому вдоль линии тока:
Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости[31].
Обобщения интеграла Бернулли
Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].
Комментарии
↑В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости[8][9][10].
↑«…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»[20].
↑«Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»[21].
↑В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как интеграл Коши — Лагранжа[25]
↑Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — doi:10.1007/BF01051932.
Truesdell, Clifford Ambrose.Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).
Torre PwCTorre PwC pada bulan April 2017Informasi umumJenisKantor, HotelLokasiPº de la Castellana 259, CTBA, Madrid, SpanyolMulai dibangun2004Rampung2008PemilikSacyr Vallehermoso[butuh rujukan]TinggiAtap236 m (774 ft)Data teknisJumlah lantai52LiftDibuat oleh Schindler GroupDesain dan konstruksiArsitekCarlos Rubio Carvajal dan Enrique Álvarez-Sala WaltherKontraktor utamaSacyr SAU Torre PwC, sebelumnya bernama Torre Sacyr Vallehermoso,[1] adalah sebuah pencakar langi...
Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Aktris Pendukung Terbaik Toronto Film Critics Association...
Halaman ini berisi artikel tentang Transnistria selama Perang Dunia II. Untuk negara saat ini, lihat Transnistria. Kegubernuran TransnistriaGuvernământul TransnistrieiKegubernuran di Rumania1941–1944Ibu kotaOdessaLuas • 194142.000 km2 (16.000 sq mi)Populasi • 1941 2326224 SejarahEra sejarahPerang Dunia II• Didirikan 19 Agustus 1941• Dibubarkan 29 Januari 1944 Didahului oleh Digantikan oleh Republik Sosialis Soviet Ukraina Republik Sosia...
Découpage cantonal du département de Seine-et-Marne, avec en surimpression les arrondissements (en nuances de bleu) - Carte arrêtée au 1er janvier 2019. Le département de Seine-et-Marne compte 23 cantons depuis le redécoupage cantonal de 2014 (43 cantons auparavant). Histoire Découpage cantonal antérieur à 2015 Liste des 43 cantons du département de Seine-et-Marne, par arrondissement : Les cantons de Seine-et-Marne avaient une population moyenne de 27 762 habitants en 1999...
The location of Fuwa District in Gifu. Fuwa (不破郡, Fuwa-gun) is a district located in Gifu Prefecture, Japan. As of July 2011, the district has an estimated population of 36,426.[1] The total area is 106.43 km2. Towns and villages Sekigahara Tarui References ^ 岐阜県の人口・世帯数人口動態統計調査結果. Gifu prefectural website (in Japanese). Gifu Prefecture. Retrieved September 11, 2011. vteGifu PrefectureGifu (capital)Core city Gifu Cities Ena Gero Gujō ...
Cet article est une ébauche concernant une localité tchèque. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Rýmařov Administration Pays Tchéquie Région Moravie-Silésie District Bruntál Région historique Moravie Maire Mandat Luděk Šimko[1],[2] 2018-2022 Code postal 792 01 — 795 01 Indicatif téléphonique international +(420) Démographie Population 8 081 hab. (2021) Densité 133...
Media naturalness theory is also known as the psychobiological model. The theory was developed by Ned Kock and attempts to apply Darwinian evolutionary principles to suggest which types of computer-mediated communication will best fit innate human communication capabilities. Media naturalness theory argues that natural selection has resulted in face-to-face communication becoming the most effective way for two people to exchange information. The theory has been applied to human communication...
Diskografi Girls' GenerationGirls' Generation pentas pada tahun 2015Album studio9Album rekaman langsung2Album kompilasi2Album video12Video musik43Extended play4Singel28 Anda mungkin harus memiliki dukungan perenderan untuk menghasilkan teks Korea dan Jepang pada article secara benar. Grup vokal perempuan berbasis Korea Selatan, Girls' Generation, merilis delapan album studio (empat di antaranya adalah keluaran ulang di bawah judul berbeda), dua album live, empat album mini, dan dua puluh dela...
American politician Arthur W. Coolidge56th Lieutenant Governor of MassachusettsIn officeJanuary 2, 1947 – January 6, 1949GovernorRobert F. BradfordPreceded byRobert F. BradfordSucceeded byCharles F. SullivanPresident of the Massachusetts SenateIn office1945–1946Preceded byJarvis HuntSucceeded byDonald W. NicholsonMember of the Massachusetts Senatefrom the 7th Middlesex DistrictIn office1941–1946Preceded byJoseph R. CottonSucceeded byGeorge Jelly EvansMember of the M...
Suburb of Cardiff, Wales Human settlement in WalesDanescourtSt John the Baptist parish churchDanescourtLocation within CardiffOS grid referenceST1379Principal areaCardiffPreserved countyCardiffCountryWalesSovereign stateUnited KingdomPost townCardiffPostcode districtCF5Dialling code029PoliceSouth WalesFireSouth WalesAmbulanceWelsh UK ParliamentCardiff WestSenedd Cymru – Welsh ParliamentCardiff WestWebsiteDanescourt Community Association List of places...
Dawn the humpback whale in the Sacramento River in 2007 Cetaceans are the animals commonly known as whales, dolphins, and porpoises. This list includes individuals from real life or fiction, where fictional individuals are indicated by their source. It is arranged roughly taxonomically. This is a dynamic list and may never be able to satisfy particular standards for completeness. You can help by adding missing items with reliable sources. Baleen whales Main article: Baleen whale Rorquals Mai...
Ancient city in Lycia This article is about Telmessos in Lycia (modern Fethiye). For the town in ancient Caria, see Telmessos (Caria). TelmessosShown within TurkeyShow map of TurkeyTelmessos (Near East)Show map of Near EastTelmessos (Eastern Mediterranean)Show map of Eastern MediterraneanLocationFethiye, Muğla Province, TurkeyCoordinates36°37′6″N 29°7′4″E / 36.61833°N 29.11778°E / 36.61833; 29.11778HistoryFoundedPre-10th millennium BCE Painting of Telmesso...
For First Battle, see Battle of The James River (1667). Second Battle of the James River (1673)Part of the Franco-Dutch War and Third Anglo-Dutch WarMap of the battle areaDateJuly 12-13, 1673 (O.S.)July 22-23, 1673 (N.S.)LocationHampton Roads and James River, JamestownResult Dutch Victory [1]Belligerents Dutch Republic EnglandCommanders and leaders Cornelis Evertsen the Youngest Jacob Binckes Thomas GardinerStrength 9 ships 8 shipsCasualties and losses only 3 men deadno ships lo...
Joseph KellawayNascitaKingston, 1º settembre 1824 MorteChatham, 2 ottobre 1880 Luogo di sepolturaMaidstone Road Cemetery Dati militariPaese servito Gran Bretagna Forza armataRoyal Navy Anni di servizio1841 - 1878 GradoCapo Nostromo GuerreGuerra di Crimea Decorazionivedi qui dati tratti da Joseph Kellaway VC[1] voci di militari presenti su Wikipedia Manuale Joseph Kellaway (Kingston, 1º settembre 1824 – Chatham, 2 ottobre 1880) è stato un militare britannico, insignit...
烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/(英文) 乌克兰 乌克兰政府与政治系列条目 宪法 政府 总统 弗拉基米尔·泽连斯基 總統辦公室 国家安全与国防事务委员会 总统代表(英语:Representatives of the President of Ukraine) 总...
كرين برينتون معلومات شخصية الميلاد 2 فبراير 1898 [1][2][3] وينستد الوفاة 7 سبتمبر 1968 (70 سنة) ماساتشوستس مواطنة الولايات المتحدة عضو في الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم، والجمعية التاريخية الأمريكية، والأكاديمية الأمريكية للفنون والآداب...
خليج هدسونHudson Bay (بالإنجليزية)baie d'Hudson (بالفرنسية)ᑲᖏᖅᓱᐊᓗᒃ ᐃᓗᐊ (بالإنكتيتوتية)ᐐᓂᐹᒄ (بالmis)Kangiqsualuk ilua (بالإنكتيتوتية)Tasiujarjuaq (بالإنكتيتوتية)Wînipekw (بالmis)Wînipâkw (بالmis) معلومات عامةسميت باسم هنري هدسون[1] الموقع الجغرافي / الإداريالإحداثيات 60°N 85°W / 60°N 85°W / 60;...
此条目页介紹的是萨摩亚独立国。 關於东萨摩亚,請見「美属萨摩亚」。 關於整個薩摩亞群島,請見「薩摩亞群島」。 薩摩亞獨立國Malo Saʻoloto Tutoʻatasi o Sāmoa(萨摩亚語)Independent State of Samoa(英語) 国旗 国徽 格言:Faʻavae i le Atua Sāmoa (萨摩亚语)“主是萨摩亚的创建者”国歌:自由的旗幟(薩摩亞語:O Le Fuʻa O Le Saʻolotoga O Samoa)首都阿皮亚官方语...