Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито:

${\displaystyle Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

где ${\displaystyle H_{s}}$ — процесс, локально интегрируемый с квадратом^[англ.] и адаптированный^[англ.] под фильтрацию, порождённую процессом ${\displaystyle X_{s}}$, который, в свою очередь, является броуновским движением или, в более общей формулировке, полумартингалом^{[англ.][1]}. Можно показать, что к траекториям броуновского движения неприменимы стандартные методы интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является дифференцируемой функцией ни в одной точке траектории и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если подынтегральная функция ${\displaystyle H_{s}}$ является адаптированным процессом, то есть её значение в момент времени ${\displaystyle t}$ зависит только от информации, доступной до этого момента времени.

Поведение стоимости акций и других финансовых активов можно промоделировать такими стохастическими процессами, как броуновское движение или более часто применяющееся геометрическое броуновское движение (см. также модель Блэка — Шоулза). В этом случае стохастический интеграл Ито представляет собой прибыль от непрерывной во времени рыночной стратегии, в которой в момент времени ${\displaystyle t}$ у участника рынка имеется ${\displaystyle H_{t}}$ ценных бумаг. В такой ситуации условие адаптированности процесса ${\displaystyle H}$ соответствует необходимому ограничению модели, заключающемуся в том, что рыночную стратегию в каждый момент времени можно основывать только на имеющейся в данный момент информации. Это условие предотвращает возможность поступления неограниченной прибыли посредством очень частой торговли, покупки акций перед каждым подъёмом стоимости и их продажи перед каждым падением. Более того, условие адаптированности подынтегрального процесса обеспечивает корректность определения стохастического интеграла как предела римановых сумм^[1].

Примеры важных результатов теории Ито — формула интегрирования по частям и формула Ито (формула замены переменной в интеграле). Эти формулы отличаются от классических формул анализа наличием слагаемых, соответствующих квадратичной вариации^[англ.].

Определённый выше интеграл ${\displaystyle Y}$ процесса ${\displaystyle H}$ относительно процесса ${\displaystyle X}$, равный

${\displaystyle Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

также является стохастическим процессом, зависящим от времени ${\displaystyle t}$ и иногда записывающимся как ${\displaystyle H\cdot X}$^[2].

Альтернативным способом записи интеграла ${\displaystyle Y}$ является дифференциальная форма ${\displaystyle dY=HdX}$ и её эквивалентный вариант ${\displaystyle Y-Y_{0}=H\cdot X}$.

Поскольку исчисление Ито изучает непрерывные стохастические процессы, предполагается, что определено вероятностное пространство с фильтрацией:

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$

σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ символизирует информацию, доступную к моменту времени ${\displaystyle t}$. Процесс ${\displaystyle X}$ является адаптированным, если ${\displaystyle X_{t}}$ измерим в данной σ-алгебре. Броуновское движение ${\displaystyle B}$ в данном случае понимается как ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-броуновское, то есть стандартное броуновское движение, которое измеримо в ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ и для которого ${\displaystyle B_{t+s}-B_{t}}$ не зависит от ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для любых ${\displaystyle s,t\geqslant 0}$^[3].

По аналогии с интегралом Римана — Стилтьеса, интеграл Ито можно определить как предел по вероятности римановых сумм. Такой предел существует не для любой траектории.

Пусть ${\displaystyle B}$ — винеровский процесс и пусть ${\displaystyle H}$ — непрерывный слева, адаптированный и локально ограниченный случайный процесс. Если ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность разбиений интервала ${\displaystyle [0,t]}$, сгущающихся при росте ${\displaystyle n}$, то интеграл Ито от ${\displaystyle H}$ относительно ${\displaystyle B}$ до времени ${\displaystyle t}$ есть случайная величина, равная

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}),}$

где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.

В некоторых приложениях (например, в теореме о представлении мартингала^[англ.] и определении локального времени^[англ.]) необходимо вычислять интегралы от разрывных процессов. Множество предсказуемых процессов^[англ.] является наименьшим семейством процессов, замкнутых относительно операции взятия предела последовательности, и содержит все адаптированные процессы, непрерывные слева. Если ${\displaystyle H}$ — предсказуемый процесс, такой, что для любого неотрицательного ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,}$

то можно определить интеграл от ${\displaystyle H}$ относительно ${\displaystyle B}$ и при этом ${\displaystyle H}$ называется ${\displaystyle B}$-интегрируемым. Любой такой процесс можно приблизить последовательностью ${\displaystyle H_{n}}$ адаптированных, непрерывных слева и локально ограниченных процессов в том смысле, что

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0}$

по вероятности. Тогда интеграл Ито равен

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB}$

где предел берётся по вероятности. Можно показать, что этот предел существует, то есть определение корректно.

Определённый таким образом стохастический интеграл удовлетворяет изометрии Ито^[англ.], то есть выполняется равенство

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$

для любого ограниченного процесса ${\displaystyle H}$ или, в более общем случае, когда интеграл в правой части равенства конечен.

Процессом Ито называется адаптированный стохастический процесс, который можно представить в виде суммы интеграла относительно броуновского движения и интеграла относительно времени:

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$

Здесь ${\displaystyle B}$ — броуновское движение, ${\displaystyle \sigma }$ — предсказуемый ${\displaystyle B}$-интегрируемый процесс, а ${\displaystyle \mu }$ — процесс предсказуемый и интегрируемый по Лебегу, то есть

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$

для любого ${\displaystyle t}$. Можно определить стохастический интеграл от процесса Ито:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$

Данное выражение определено для любых локально ограниченных и предсказуемых подынтегральных функций. В более общей формулировке требуется, чтобы ${\displaystyle H\sigma }$ была ${\displaystyle B}$-интегрируема, а ${\displaystyle H\mu }$ — интегрируема по Лебегу, то есть

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .}$

Предсказуемые процессы ${\displaystyle H}$, удовлетворяющие этому условию, называются ${\displaystyle X}$-интегрируемыми, множество всех таких процессов обозначается ${\displaystyle L(X)}$.

Важным результатом, связанным с изучением процессов Ито, является лемма Ито. Простейший вариант её формулировки следующий: для любой функции ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} )}$ и процесса Ито ${\displaystyle X}$ процесс ${\displaystyle f(X)}$ также является процессом Ито и выполняется равенство

${\displaystyle df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.}$

Данное выражение является стохастическим аналогом формулы замены переменной в интеграле и правила дифференцирования сложной функции. Оно отличается от классических формул наличием дополнительного слагаемого, включающего в себя вторую производную функции ${\displaystyle f}$ и возникающего вследствие того, что квадратичная вариация броуновского движения не равна нулю.

Интеграл Ито определяется относительно полумартингала ${\displaystyle X}$, то есть процесса, представимого в виде ${\displaystyle X=M+A}$, где ${\displaystyle M}$ — локальный мартингал^[англ.], ${\displaystyle A}$ — процесс с конечной вариацией. Такими процессами являются, например, винеровский процесс (являющийся мартингалом), а также процессы с независимыми приращениями.

Для непрерывного слева, локального ограниченного и адаптированного процесса ${\displaystyle H}$ существует интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$, который может быть вычислен как предел римановых сумм. Пусть ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность разбиений интервала ${\displaystyle [0,t]}$, сгущающихся при росте ${\displaystyle n}$. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),}$

где предел берётся по вероятности.

Определение стохастического интеграла для процессов, непрерывных слева, достаточно общо для применения в большинстве задач стохастического исчисления, например, в приложениях леммы Ито, при замене меры по теореме Гирсанова и при изучении стохастических дифференциальных уравнений. Тем не менее, такое определение оказывается неподходящим для других важных тем, таких как теорема о представлении мартингала и изучение локальных времён.

Понятие интеграла можно единственным образом обобщить для всех предсказуемых и локально ограниченных подынтегральных функций, так, что будут выполняться условия теоремы о мажорируемой сходимости. Если ${\displaystyle H_{n}\to H}$ и ${\displaystyle |H_{n}|\leqslant J}$ для некоторого локально ограниченного процесса ${\displaystyle J}$, то

${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX}$

по вероятности. Единственность обобщения является следствием теоремы о монотонных классах^[англ.].

В общем случае стохастический интеграл ${\displaystyle H\cdot X}$ может быть определён даже если предсказуемый процесс ${\displaystyle H}$ не является локально ограниченным. Процессы ${\displaystyle K=1/(1+|H|)}$ и ${\displaystyle KH}$ являются ограниченными. Ассоциативность стохастического интегрирования влечёт за собой ${\displaystyle X}$-интегрируемость ${\displaystyle H}$, причём ${\displaystyle H\cdot X=Y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Y_{0}=0}$ и ${\displaystyle K\cdot Y=(KH)\cdot X}$.

Стохастический интеграл обладает следующими свойствами^[3][2].

• Стохастический интеграл есть случайный процесс, являющийся элементом пространства Скорохода^[англ.]. Более того, стохастический интеграл есть полумартингал.

• Разрывы стохастического интеграла возникают при умножении имеющего скачки интегратора и подынтегральной функции. Скачок процесса, являющегося элементом пространства Скорохода, в момент времени ${\displaystyle t}$ равен ${\displaystyle X_{t}-X_{t-}}$ и часто обозначается ${\displaystyle \Delta X_{t}}$. Тогда

${\displaystyle \Delta (H\cdot X)=H\Delta X.}$

Отсюда, в частности, следует, что интеграл относительно непрерывного процесса также непрерывен.

• Ассоциативность. Пусть ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle K}$ — предсказуемые процессы и ${\displaystyle K}$ является ${\displaystyle X}$-интегрируемым. Тогда ${\displaystyle J}$ является ${\displaystyle (K\cdot X)}$-интегрируемым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle JK}$ является ${\displaystyle X}$-интегрируемым и в таком случае

${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$

• Мажорируемая сходимость. Пусть ${\displaystyle H_{n}\to H}$ и пусть ${\displaystyle |H_{n}|\leqslant J}$ для некоторого ${\displaystyle X}$-интегрируемого процесса ${\displaystyle J}$. Тогда ${\displaystyle H_{n}\cdot X\to H\cdot X}$ по вероятности при любом ${\displaystyle t}$. На компактных множествах сходимость будет равномерной.

• Стохастический интеграл коммутирует с операцией вычисления квадратичной ковариации. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — полумартингалы, то любой ${\displaystyle X}$-интегрируемый процесс будет также ${\displaystyle [X,Y]}$-интегрируемым и ${\displaystyle [H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]}$. Отсюда следует, что процесс квадратичной вариации стохастического интеграла равен интегралу от процесса квадратичной вариации:

${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$

Так же как и в классическом анализе, в стохастическом исчислении важным результатом является формула интегрирования по частям. Формула для интеграла Ито отличается от формулы для интеграла Римана — Стилтьеса дополнительного слагаемого, равного квадратичной ковариации. Оно появляется в связи с тем, что в исчислении Ито изучаются процессы с ненулевой квадратичной вариацией, каковыми являются только процессы с бесконечной вариацией, такие как, например, броуновское движение. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — полумартингалы, то

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

где ${\displaystyle [X,Y]}$ — процесс квадратичной ковариации.

Лемма Ито является аналогом формулы дифференцирования сложной функции или формулы замены переменной в интеграле для стохастического интеграла Ито и одним из самых мощных и наиболее часто используемых результатов стохастического исчисления.

Пусть ${\displaystyle X=(X^{1},\ldots ,X^{n})}$ — ${\displaystyle n}$-мерный полумартингал и пусть ${\displaystyle f}$ — дважды гладкая функция из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тогда ${\displaystyle f(X)}$ тоже является полумартингалом и

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

Эта формула отличается от классического правила цепочки наличием квадратичной ковариации ${\displaystyle [X^{i},X^{j}]}$. Формулу можно обобщить на случай разрывных полумартингалов добавлением слагаемого, соответствующего скачкам и обеспечивающего непрерывность.

Важным свойством интеграла Ито является сохранение свойства локальности мартингалов. Если ${\displaystyle M}$ — локальный мартингал, а ${\displaystyle H}$ локально ограниченный предсказуемый процесс, то интеграл ${\displaystyle H\cdot M}$ тоже будет локальным мартингалом. Можно привести примеры, когда ${\displaystyle H\cdot M}$ не является локальным для подынтегральных процессов, не являющихся локально ограниченными, однако, такое может произойти только если ${\displaystyle M}$ разрывен. Если ${\displaystyle M}$ — непрерывный локальный мартингал, то предсказуемый процесс ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$-интегрируем тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty }$

для любого ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle H\cdot M}$ всегда является локальным мартингалом.

Самое общее утверждение разрывного локального мартингала ${\displaystyle M}$ формулируется следующим образом: если процесс ${\displaystyle {\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}}$ локально интегрируем, то интеграл ${\displaystyle H\cdot M}$ существует и является локальным мартингалом.

Для ограниченных подынтегральных процессов стохастический интеграл Ито сохраняет пространство мартингалов, интегрируемых с квадратом, то есть мартингалов ${\displaystyle M}$, принадлежащих пространству Скорохода и удовлетворяющих свойству

${\displaystyle \mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty }$

для любых ${\displaystyle t}$. Для любого такого мартингала ${\displaystyle M}$ процесс квадратичной вариации ${\displaystyle [M]}$ интегрируем и выполняется изометрия Ито:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$

Данное равенство выполняется и в более общем случае — для любого мартингала ${\displaystyle M}$, такого, что процесс ${\displaystyle H^{2}\cdot [M]_{t}}$ интегрируем. Изометрия Ито часто используется в качестве важного этапа построения стохастического интеграла. Можно определить ${\displaystyle H\cdot M}$ как единственное расширение изометрии Ито с определённого класс простых подынтегральных процессов на случай всех ограниченных и предсказуемых процессов.

Для любого ${\displaystyle p>1}$ и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство ${\displaystyle p}$-интегрируемых мартингалов, то есть мартингалов ${\displaystyle M}$, принадлежащих пространству Скорохода, для которых

${\displaystyle \mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty }$

для любых ${\displaystyle t}$. Для случая ${\displaystyle p=1}$ это не всегда так: можно привести примеры интегралов от ограниченных предсказуемых процессов относительно мартингалов, не являющихся мартингалами.

Максимум процесса ${\displaystyle M}$ из пространства Скорохода обозначается как ${\displaystyle M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|}$. Для любого ${\displaystyle p\geqslant 1}$ и любого ограниченного предсказуемого подынтегрального процесса стохастический интеграл сохраняет пространство мартингалов ${\displaystyle M}$ из пространства Скорохода, таких, что

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty }$

для любых ${\displaystyle t}$. Из неравенства Дуба следует, что при ${\displaystyle p>1}$ данное пространство совпадает с пространством ${\displaystyle p}$-интегрируемых мартингалов.

Согласно неравенствам Буркхольдера — Дэвиса — Ганди, для любого ${\displaystyle p\geqslant 1}$ существуют положительные константы ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle C}$, зависящие только от ${\displaystyle p}$, такие, что для любого мартингала ${\displaystyle M}$, локально принадлежащего пространству Скорохода, выполняется

${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right].}$

С помощью этих соотношений можно показать, что если ${\displaystyle \left(M_{t}^{*}\right)^{p}}$ интегрируем и если ${\displaystyle H}$ — ограниченный предсказуемый процесс, то

${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$

и, как следствие, ${\displaystyle H\cdot M}$ — ${\displaystyle p}$-интегрируемый мартингал. Данное утверждение остаётся верным и в более общем случае, когда процесс ${\displaystyle \left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}}$ интегрируем.

• Интеграл Стратоновича

• Kleinert, H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (англ.). — 5th edition. — Singapore: World Scientific, 2009. — 1624 p. — ISBN 978-981-4365-26-0. — doi:10.1142/7305.
• He, S. W., Wang, J. G., Yan, J. A.. Semimartingale Theory and Stochastic Calculus (англ.). — Science Press, CRC Press Inc., 1992. — ISBN 7-03-003066-4.
• Karatzas, I., Shreve, S. E.. Brownian Motion and Stochastic Calculus (англ.). — Springer, 1991. — ISBN 0-387-97655-8.
• Protter, P. E.. Stochastic Integration and Differential Equations (англ.). — Springer, 2001. — ISBN 3-540-00313-4.
• Øksendal, B. K.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Springer, 2003. — ISBN 3-540-04758-1.
• Revuz, D., Yor, M.. Continuous martingales and Brownian motion (англ.). — Berlin: Springer, 1999. — ISBN 3-540-57622-3.
• Rogers, C., Williams, D.. Diffusions, Markov processes and martingales - Volume 2: Itô calculus (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. — ISBN 0-521-77593-0.
• Степанов, С.. Стохастический мир (рус.). — Электронная версия.