PROFILPELAJAR.COM

Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса^[1] — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}

рассматривается предел сумм вида

\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},

где интегрирующая функция $j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)^[2]. Если $j(x)$ непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx

(если последний существует).

Применения

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса^[3], всякая абсолютно монотонная при $x<0$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса^[4], всякая аналитическая функция в круге $|z|<1$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса^[5].