Преобразование Мелера — Фока функции ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид:

${\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \tau \geqslant 0,}$

где ${\displaystyle P_{\nu }(x)}$ — сферическая функция Лежандра первого рода. Если ${\displaystyle f(x)}$ — вещественная функция, причём

${\displaystyle f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),}$

тогда интеграл ${\displaystyle F(\tau )}$, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых ${\displaystyle \tau \geqslant 0}$.

Обратное преобразование имеет вид:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }d\tau .}$

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Иногда определение ${\displaystyle F(\tau )}$ распространяют и на ${\displaystyle \tau <0}$, полагая

${\displaystyle F(-\tau )=F(\tau ).}$

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .}$

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

${\displaystyle {\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.}$

Тогда, если ${\displaystyle f(\tau )\in L[0,\infty )}$, ${\displaystyle |f'(\tau )|}$ — локально интегрируема на ${\displaystyle [0,\infty )}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$, верна формула обращения:

${\displaystyle f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.}$

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0,}$

(данное представление также называют интегралом Мелера)

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.}$

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть ${\displaystyle g_{k}(x),\;i=1,2}$ — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

${\displaystyle g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x)\in L_{2}(1,\infty ),}$

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

${\displaystyle G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,}$

${\displaystyle g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,}$

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.}$

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

${\displaystyle f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1,\quad \pi \lambda <1.}$

Пусть преобразования Мелера — Фока

${\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}$

${\displaystyle G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}$

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

${\displaystyle F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}F(\tau ),}$

откуда:

${\displaystyle F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}.}$

Если ${\displaystyle g(x)}$ — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале ${\displaystyle x\in (1,b),}$ причём

${\displaystyle g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),}$

${\displaystyle G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),}$

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)d\tau .}$

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,}$

где ${\displaystyle P_{\nu }^{(k)}(x)}$ — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

${\displaystyle f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.}$

1. При ${\displaystyle k=0}$ получится случай обычного преобразования Мелера — Фока ${\displaystyle {\tilde {F}}(x)}$.
2. При ${\displaystyle k={\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha }$ получится косинус-преобразование Фурье.
3. При ${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha }$ получится синус-преобразование Фурье.

• Математическая энциклопедия / Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав. ред.) [и др.] — М.: Советская Энциклопедия, 1977—1985.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.