Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида ${\displaystyle \sum f(x)\Delta x}$. Используется в определении интеграла Римана. Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана.

Пусть ${\displaystyle f:D\rightarrow R}$ является функцией определённой на подмножестве ${\displaystyle D}$ на вещественной прямой ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle I=[a,b]}$ — замкнутый интервал содержащийся в ${\displaystyle D}$. ${\displaystyle P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}}$ является разбиением ${\displaystyle I}$, в котором ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b}$.

Сумма Римана функции ${\displaystyle f}$ с разбиением ${\displaystyle P}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})}$

где ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i}}$. Выбор ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ в данном интервале является произвольным. Если ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$ для всех ${\displaystyle i}$, тогда ${\displaystyle S}$ называется левой суммой Римана. Если ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$, тогда ${\displaystyle S}$ называется правой суммой Римана. Если ${\displaystyle x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})}$, тогда ${\displaystyle S}$ называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$,

где ${\displaystyle v_{i}}$ является точной верхней границей множества ${\displaystyle f}$ на интервале ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, то ${\displaystyle S}$ называется верхней суммой Римана. Аналогично, если ${\displaystyle v_{i}}$ является точной нижней границей множества ${\displaystyle f}$ интервале ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, то ${\displaystyle S}$ называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ из интервала ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции ${\displaystyle f}$ и отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора ${\displaystyle x_{i}^{*}}$), то этот предел называют интегралом Римана функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ и обозначается ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.