Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
Список Коксетеравырожденных витхоффовых однородных многогранников с указанием символов Витхоффа, вершинных фигур и символов Шлефли. Все однородные многогранники и все вырожденные витхоффовы однородные многогранники перечислены в этой статье.
Существует много связей между однородными многогранниками. Построение Витхоффа способно построить почти все однородные многогранники из треугольников Шварца. Числа, которые могут быть использованы для сторон недиэдрического треугольника Шварца, которые не обязательно приводят только к вырожденным многогранникам, равны 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителями 4 и 5 не могут встречаться вместе). Число 4/2 тоже можно использовать, но оно приводит к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий делитель. Существует 44 таких треугольников Шварца (5 с тетраэдральной симметрией, 7 с октаэдральной симметрией[англ.] и 32 с икосаэдральной симметрией), которые, вместе с бесконечным семейством диэдрических треугольников Шварца, могут образовать почти все невырожденные однородные многогранники. Многие вырожденные однородные многогранники с полностью совпадающими вершинами, рёбрами или гранями могут быть также сгенерированы с помощью построения Витхоффа, и те, которые возникают из треугольников Шварца, не использующих 4/2, также включены в таблицы ниже вместе с их невырожденными аналогами.
Существует несколько невитхоффовых однородных многогранника, которые треугольники Шварца не могут сгенерировать. Однако большинство из них может быть получено с помощью построения Витхоффа как двойное покрытие (невитхоффов многогранник покрывается дважды) или с несколькими дополнительными гранями (см. Всеусечённый многогранник[англ.]). Такие многогранники помечены в списке звёздочкой. Только для двух однородных многогранников построение Витхоффа не работает — это Большой биромбоикосододекаэдр[англ.] и Большой биплосконосый биромбобидодекаэдр[англ.].
Каждая мозаика треугольников Шварца на сфере может покрыть сферу только раз, либо, вместо этого, обойти сферу кратное число раз, пересекая себя в процессе покрытия. Число раз, которые мозаика оборачивает сферу, является плотностью[англ.] мозаики и обозначается μ.
Для экономии места в статье используются короткие имена многогранников, данные Джонатаном Бауэрсом (Jonathan Bowers), и известные как сокращения (акронимы) Бауэрса. Номер Маедера (система «Mathematic»[1][2]) также дан. За исключением диэдрических треугольников Шварца, треугольники Шварца упорядочены по их плотности.
p q r s | — Смесь p q r | и p q s |. Оба символа p q r | и p q s | образуют общий базовый многогранник с некоторыми дополнительными гранями. Запись p q r s | тогда представляет базовый многогранник, сделанный из общих граней p q r | и p q s |.
| p q r — Плосконосые формы (альтернированные).
| p q r s — Единственная плосконосая форма для U75[англ.], который не получается из построения Витхоффа с использованием треугольной фундаментальной области. В этот символ Витхоффа входят четыре числа, поскольку имеет четырёхугольную сферическую фундаментальную область.
| (p) q (r) s — Единственная плосконосая форма для фигуры Скиллинга[англ.], которую нельзя получить построением Витхоффа.
Эта таблица преобразования символа Витхоффа в конфигурацию вершины не работает для некоторых исключительных однородных многогранников. Единственными невырожденными такими случаями являются большой усечённый кубооктаэдр[англ.] (2 3 4/3 |), усечённый додекододекаэдр[англ.] (2 5/3 5 |), Большой икосаэдр (| 2 3/2 3/2), большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр (| 2 3/2 5/3) и малый плосконосый икосоикосододекаэдр[англ.] (| 3/2 3/2 5/2). В этих случаях вершинная фигура является крайне деформированной для того, чтобы получить однородность с плоскими гранями — в первых двух случаях это тупоугольный треугольник, а не остроугольный, а в последних трёх случаях это пентаграмма или гексаграмма вместо пятиугольника или шестиугольника, и они оборачиваются вокруг центра дважды. Это приводит к тому, что часть граней проходят сквозь многогранник и выходят с другой стороны многогранника. По этой же причине плотность многогранника не совпадает с плотностью треугольника Шварца, из которого они получены, и равны 1, 3, 7, 37 и 38 соответственно.
Диэдральные (Призматические)
В диэдральных треугольниках Шварца два числа равны 2, а третье может быть произвольным рациональным числом, строго большим 1.
Много многогранников с диэдральной симметрией имеют двуугольные грани, что делает их вырожденными многогранниками (то есть диэдрами и осоэдрами). Столбцы таблицы, содержащие только вырожденные многогранники не включены — специальные вырожденные случаи (только для треугольников Шварца (2 2 2)) помечены большим крестом. Скрещенные антипризмы[англ.] с третьим значением {p}, где p < 3/2 существовать не могут, поскольку их вершинные фигуры тогда нарушили бы неравенство треугольника. Эти невозможные фигуры также отмечены большим крестом. 3/2-скрещенная антипризма является вырожденной, поскольку в евклидовом пространстве она плоская, а потому тоже помечена большим крестом. Треугольники Шварца (2 2 n/d) перечислены здесь только для случаев НОД (n, d) = 1, в противном случае все полученные многогранники будут вырожденными.
В октаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем является 4. Существуют также октаэдральные треугольники с 4/2, но они дают только вырожденные однородные многогранники, поскольку 4 и 2 не взаимно просты.
В икосаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем может быть 5. Кроме того, числитель 4 не может быть использован во всех икосаэдральных треугольниках Шварца, хотя числители 2 и 3 разрешены. (Если бы 4 и 5 могли появляться одновременно в некоторых треугольниках Шварца, они должны были бы появиться и в некоторых треугольниках Мёбиуса, но это невозможно, так как (2 4 5) является гиперболическим треугольником, а не сферическим.)
Эти многогранники (полумногогранники[англ.]) получаются как двойное покрытие с помощью построения Витхоффа. Если фигура, полученная построением Витхоффа, составлена из двух идентичных компонент, операция «геми» берёт только одну компоненту.
Эти многогранники генерируются построением Витхоффа с лишними гранями. Если фигура генерируется с помощью построения Витхоффа как соединение двух или трёх неидентичных компонент, операция «приведения» удаляет лишние грани (которые следует указать) из фигуры, оставляя только одну компоненту.
Тетрагемигексаэдр (thah, U4) является также приведённой формой {3/2}-купола (обратный треугольный купол, ratricu) по {6/2}.
Другие формы
Эти два однородных многогранника нельзя получить с помощью построения Витхоффа. Это множество многогранников принято называть «невитхоффовыми». Вместо треугольной фундаментальной области витхоффовых однородных многогранников эти два имеют четырёхугольную фундаментальную область.
Многогранник Скиллинга не дан в списке Маедера, поскольку он принадлежит к экзотическим однородным многогранникам, у которых рёбра полностью совпадают. Это верно также для некоторых вырожденных многогранников, перечисленных выше, таких как
малый составной икосододекаэдр[англ.]. Такая интерпретация совпадающих рёбер позволяет этим фигурам оставаться биметорными (греч.: bi + methoric = два + ребро), то есть имеющими две грани на ребро. Без удвоения рёбер эти тела превратились бы в тетра-, гекса-, окта-, дека- или додекаметорные фигуры, которые обычно исключаются из списка однородных многогранников. Фигура Скиллинга является тетраметорной [4].
