Точечная группа в трёхмерном пространстве
Симметрии-инволюции Cs , (*) [ ] =
Циклическая симметрия Cnv , (*nn) [n] =
Диэдральная симметрия Dnh , (*n22) [n,2] =
Группы многогранников , [n,3], (*n32)
Тетраэдральная симметрия Td , (*332) [3,3] =
Октаэдральная симметрия Oh , (*432) [4,3] =
Икосаэдральная симметрия Ih , (*532) [5,3] =
Фундаментальные области икосаэдральной симметрии
Футбольный мяч , пример сферического усечённого икосаэдра , имеет полную икосаэдральную симметрию.
Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии [англ.] 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.
Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5
× × -->
{\displaystyle \times }
Z2 . Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в нотации Коксетера [англ.] как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .
Как точечная группа
Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере ) с наибольшей группой симметрии .
Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией , так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп .
Задания групп , соответствующие описанным выше:
I
:
⟨ ⟨ -->
s
,
t
∣ ∣ -->
s
2
,
t
3
,
(
s
t
)
5
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }
I
h
:
⟨ ⟨ -->
s
,
t
∣ ∣ -->
s
3
(
s
t
)
− − -->
2
,
t
5
(
s
t
)
− − -->
2
⟩ ⟩ -->
.
{\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }
Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника .
Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам [ 1] .
Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I ).
Визуализация
Структура группы
Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.
Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.
Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A 5 , знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов [англ.] (которое вписано в двенадцатигранник ), соединение пяти октаэдров , или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).
Группа содержит 5 версий T h с 20 версиями D3 (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D5 .
Полная икосаэдральная группа Ih имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы Ih индекса 2. Группа Ih изоморфна
I
× × -->
Z
2
{\displaystyle I\times Z_{2}}
, или
A
5
× × -->
Z
2
{\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}
, с центральной симметрией , соответствующей (1,-1), где Z 2 записывается мультипликативно.
Ih действует на соединение пяти кубов [англ.] и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (cоединения пяти тетраэдров ), а −1 обменивает местами две половинки.
В частности, она не действует как S5 и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.
Группа содержит 10 версий D3d и 6 версий D5d (симметрии аналогичные антирпизимам).
I изоморфна также группе PSL2 (5), но Ih не изоморфна SL2 (5).
Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра
Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:
Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению
1
→ → -->
A
5
→ → -->
S
5
→ → -->
Z
2
→ → -->
1
{\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}
I
h
=
A
5
× × -->
Z
2
{\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}
1
→ → -->
Z
2
→ → -->
2
I
→ → -->
A
5
→ → -->
1
{\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}
Иными словами,
A
5
{\displaystyle A_{5}}
является нормальной подгруппой группы
S
5
{\displaystyle S_{5}}
A
5
{\displaystyle A_{5}}
является факторгруппой группы
I
h
{\displaystyle I_{h}}
, которая является прямым произведением
A
5
{\displaystyle A_{5}}
является факторгруппой группы
2
I
{\displaystyle 2I}
Заметим, что
A
5
{\displaystyle A_{5}}
имеет исключительное [англ.] неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но
S
5
{\displaystyle S_{5}}
не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.
Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:
A
5
≅ ≅ -->
PSL
-->
(
2
,
5
)
,
{\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}
проективная специальная линейная группа ;
S
5
≅ ≅ -->
PGL
-->
(
2
,
5
)
,
{\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}
проективная полная линейная группа ;
2
I
≅ ≅ -->
SL
-->
(
2
,
5
)
,
{\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}
cпециальная линейная группа .
Классы сопряжённости
Классы сопряжённости
I
Ih
Тождество
12
× × -->
{\displaystyle 12\times }
вращение на 72°, порядок 5
12
× × -->
{\displaystyle 12\times }
вращение на 144°, порядок 5
20
× × -->
{\displaystyle 20\times }
вращение на 120°, порядок 3
15
× × -->
{\displaystyle 15\times }
вращение на 180°, порядок 2
Отражение
12
× × -->
{\displaystyle 12\times }
зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10
12
× × -->
{\displaystyle 12\times }
зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10
20
× × -->
{\displaystyle 20\times }
r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6
15
× × -->
{\displaystyle 15\times }
зеркальное отражение, порядок 2
Явное представление матрицами вращений
В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений
I
{\displaystyle I}
, описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота . Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам
(
± ± -->
1
,
0
,
± ± -->
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle (\pm 1,0,\pm \phi )}
, где
ϕ ϕ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
является золотым сечением . Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу
I
h
{\displaystyle I_{h}}
. Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как
R
6
{\displaystyle R_{6}}
и
R
58
{\displaystyle R_{58}}
, пока размер множества не перестанет расти.
R
1
=
[
− − -->
1
0
0
0
− − -->
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}
R
2
=
[
− − -->
1
0
0
0
1
0
0
0
− − -->
1
]
{\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}
R
3
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
4
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
5
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
6
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
7
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
8
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
9
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
10
=
[
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
11
=
[
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
12
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
13
=
[
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
14
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
15
=
[
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
16
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
17
=
[
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
18
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
19
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
20
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
21
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
22
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
23
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
24
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
25
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
26
=
[
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
27
=
[
0
0
1
− − -->
1
0
0
0
− − -->
1
0
]
{\displaystyle R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}
R
28
=
[
0
0
− − -->
1
− − -->
1
0
0
0
1
0
]
{\displaystyle R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}
R
29
=
[
0
− − -->
1
0
0
0
1
− − -->
1
0
0
]
{\displaystyle R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}
R
30
=
[
0
1
0
0
0
− − -->
1
− − -->
1
0
0
]
{\displaystyle R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}
R
31
=
[
0
− − -->
1
0
0
0
− − -->
1
1
0
0
]
{\displaystyle R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}
R
32
=
[
0
1
0
0
0
1
1
0
0
]
{\displaystyle R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}
R
33
=
[
0
0
− − -->
1
1
0
0
0
− − -->
1
0
]
{\displaystyle R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}
R
34
=
[
0
0
1
1
0
0
0
1
0
]
{\displaystyle R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}
R
35
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
36
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
37
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
38
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
39
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
40
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
41
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
]
{\displaystyle R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
42
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
]
{\displaystyle R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
43
=
[
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
44
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
45
=
[
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
46
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
47
=
[
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
48
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
49
=
[
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
50
=
[
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
]
{\displaystyle R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}
R
51
=
[
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
52
=
[
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
53
=
[
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
54
=
[
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
55
=
[
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
56
=
[
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
57
=
[
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
2
− − -->
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
58
=
[
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
− − -->
1
2
1
2
ϕ ϕ -->
1
2
ϕ ϕ -->
2
1
2
− − -->
ϕ ϕ -->
2
1
2
ϕ ϕ -->
]
{\displaystyle R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}
R
59
=
[
1
0
0
0
− − -->
1
0
0
0
− − -->
1
]
{\displaystyle R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}
R
60
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}
Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией
Связь подгрупп
Связь хиральных подгрупп
Шёнфлис
Коксетер [англ.]
Орбифолд [англ.]
Г-М
Структура
Циклы
Порядок
Индекс
Ih
[5,3]
*532
53 2/m
A5
× × -->
Z
2
{\displaystyle \times Z_{2}}
120
1
D2h
[2,2]
*222
mmm
Dih2
× × -->
D
i
h
1
=
D
i
h
1
3
{\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}}
8
15
C5v
[5]
*55
5m
Dih5
10
12
C3v
[3]
*33
3m
Dih3 =S3
6
20
C2v
[2]
*22
2mm
Dih2 =Dih1 2
4
30
Cs
[ ]
*
2 or m
Dih1
2
60
Th
[3+ ,4]
3*2
m3
A
4
× × -->
Z
2
{\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}
24
5
D5d
[2+ ,10]
2*5
10 m2
D
i
h
10
=
Z
2
× × -->
D
i
h
5
{\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}}
20
6
D3d
[2+ ,6]
2*3
3 m
D
i
h
6
=
Z
2
× × -->
D
i
h
3
{\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}}
12
10
D
1
d
=
C
2
h
{\displaystyle D_{1d}=C_{2h}}
[2+ ,2]
2*
2/m
Dih2 =Z2
× × -->
D
i
h
1
{\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}}
4
30
S10
[2+ ,10+ ]
5
× × -->
{\displaystyle 5\times }
5
Z
10
=
Z
2
× × -->
Z
5
{\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}}
10
12
S6
[2+ ,6+ ]
3
× × -->
{\displaystyle 3\times }
3
Z
6
=
Z
2
× × -->
Z
3
{\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}}
6
20
S2
[2+ ,2+ ]
× × -->
{\displaystyle \times }
1
Z
2
{\displaystyle Z_{2}}
2
60
I
[5,3]+
532
532
A5
60
2
T
[3,3]+
332
332
A4
12
10
D5
[2,5]+
522
522
Dih5
10
12
D3
[2,3]+
322
322
Dih3 =S3
6
20
D2
[2,2]+
222
222
D
i
h
2
=
Z
2
2
{\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}}
4
30
C5
[5]+
55
5
Z
5
{\displaystyle Z_{5}}
5
24
C3
[3]+
33
3
Z
3
=
A
3
{\displaystyle Z_{3}=A_{3}}
3
40
C2
[2]+
22
2
Z
2
{\displaystyle Z_{2}}
2
60
C1
[ ]+
11
1
Z
1
{\displaystyle Z_{1}}
1
120
Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.
Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.
Стабилизаторы вершин
Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.
стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C 3
стабилизаторы вершин в Ih дают диэдральные группы [англ.] D 3
стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D 3
стабилизаторы противоположных пар вершин в Ih дают
D
3
× × -->
± ± -->
1
{\displaystyle D_{3}\times \pm 1}
Стабилизаторы рёбер
Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.
Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z 2
Стабилизаторы рёбер в Ih дают четверные группы Клейна
Z
2
× × -->
Z
2
{\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}
стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна
Z
2
× × -->
Z
2
{\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}
. Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
стабилизаторы пар рёбер в Ih дают
Z
2
× × -->
Z
2
× × -->
Z
2
{\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}
. Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.
Стабилизаторы граней
Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы , которую они порождают.
стабилизаторы граней в I дают циклические группы C 5
стабилизаторы граней в Ih дают диэдральные группы D 5
стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D 5
стабилизаторы противоположных пар граней в Ih дают
D
5
× × -->
± ± -->
1
{\displaystyle D_{5}\times \pm 1}
Стабилизаторы многогранников
Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм
I
→ → -->
∼ ∼ -->
A
5
<
S
5
{\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}
.
стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
стабилизаторы вписанного тетраэдра в Ih являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в Ih являются копиями Th
Фундаментальная область
Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:
икосаэдральная группа вращенийI
Полная икосаэдральная группа I h
Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями
В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.
Многогранники с икосаэдральной симметрией
Хиральные многогранники
Полная икосаэдральная симметрия
Правильный многогранник
Тела Кеплера — Пуансо
Архимедовы тела
{5,3}
{5/2,5}
{5/2,3}
t{5,3}
t{3,5}
r{3,5}
rr{3,5}
tr{3,5}
Правильный многогранник
Тела Кеплера — Пуансо
Каталановы тела
{3,5} =
{5,5/2} =
{3,5/2} =
V3.10.10
V5.6.6
V3.5.3.5
V3.4.5.4
V4.6.10
Другие объекты с икосаэдральной симметрией
Примеры икосоэдральной симметрии
Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией
Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами , существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки[ 2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь .
В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.
Связанные геометрии
Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p ) является группой симметрии модулярной кривой X(p ). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.
Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.
Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна[ 3] . Современное описание дано в статье Тота[ 4] .
Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов[ 5] [ 6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants [англ.] (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна [англ.] , ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).
Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n ) и более общих групп для других модулярных кривых.
Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна [англ.] (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу » в терминологии В. И. Арнольда , что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы » .
Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников .
См. также
Примечания
↑ Hamilton, 1856 , с. 446.
↑ Kleinert, Maki, 1981 , с. 219–259.
↑ Klein, 1888 .
↑ Tóth, 2002 , с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron .
↑ Klein, 1878 .
↑ Klein, 1879 .
Литература
Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine . — 1856. — Т. 12 . — С. 446 .
Kleinert H. , Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29 , вып. 5 . — С. 219–259 . — doi :10.1002/prop.19810290503 .
Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14 , вып. 3 . — С. 428–471 . — doi :10.1007/BF01677143 . Перевод на английский
Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15 , вып. 3—4 . — С. 533–555 . — doi :10.1007/BF02086276 . Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165
Felix Klein . Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0 .
Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X .
Peter R. Cromwell. Polyhedra . — Cambridge university press, 1997. — С. 296 . — ISBN 9-521-55432-2 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter H.S.M. / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
Johnson N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups , 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5 .
Ссылки