Гипотеза Эллиота — Халберстама — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam).
Пусть — число простых чисел, не превышающих . Если — натуральное число, а и — взаимно простые числа, то мы обозначим — число простых чисел, не превышающих и равных по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что
где и взаимно просты, а — функция Эйлера.
Определим теперь функцию погрешности
где максимум берется по всем взаимно простым с
Тогда для всех и всех найдётся такая константа , что выполняется
для всех
Эта гипотеза была доказана для всех Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке
Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает[1], что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6[2].
Литература
Примечания
|
---|
Гипотезы | |
---|