Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

• гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
• гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых ${\displaystyle p}$ таких, что ${\displaystyle p+2}$ тоже простое?
• гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
• существует ли бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$, для которых ${\displaystyle p-1}$ является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$^[1]?

Все четыре проблемы по состоянию на 2024 год остаются открытыми.

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого ${\displaystyle n}$. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел, больших 5^[2]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня утверждает, что для всех достаточно больших ${\displaystyle n}$ возможно представление ${\displaystyle 2n=p+q}$, где ${\displaystyle p}$ простое, а ${\displaystyle q}$ либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, непредставимые в виде суммы двух простых, имеют плотность нуль^[3].

В 2015 году Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня^[4]: любое чётное число, большее ${\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1{,}7\cdot 10^{1872344071119348}}$, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Чжан Итан^[5] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»^{[англ.][6]}. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард^[7], Голдстон, Пинц и Йылдырым^[8]).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$ (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что ${\displaystyle p+2}$ является простым или полупростым.

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими ${\displaystyle p}$, меньше величины ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10^18[9]. Контрпример около 10¹⁸ должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более ${\displaystyle x^{1/6}}$ нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$. В частности^[10]:

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leqslant p_{n}\leqslant 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}}$.

Результат Ингема показывает, что существует простое между ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для любого достаточно большого ${\displaystyle n}$^[11].

Теорема Фридландера — Иванца утверждает о бесконечно большом количестве простых чисел вида ${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$^[12]. Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с максимум двумя простыми делителями^[13][14]. Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для ${\displaystyle L}$-функций на характерах Гекке^[англ.] существует бесконечно много простых чисел вида ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ с ${\displaystyle y=O(\log x)}$^[15].

Дешуиллерс и Иванец^[16], улучшив результат Хули^[17] и Тодда^[18], показали, что существует бесконечно много чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с бо́льшим простым множителем по меньшей мере ${\displaystyle n^{1{,}2}}$. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы. В обратную сторону, решето Бруна^[англ.] показывает, что существует ${\displaystyle O({\frac {\sqrt {x}}{\log x}})}$ таких простых, меньших ${\displaystyle x}$.

• The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arithmetica. — 1975. — Т. 27.
• Yitang Zhang. Bounded gaps between primes // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179, вып. 3.
• Polymath D.H.J. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes // Research in the Mathematical Sciences. — 2014. — Т. 1, № 12. — С. 12. — doi:10.1186/s40687-014-0012-7. — arXiv:1407.4897.
• Maynard J. Small gaps between primes // Annals of Mathematics.
• Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz, Cem Yalçın Yıldırım. Small Gaps between Primes Exist // Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences. — 2006. — Т. 82, вып. 4. — doi:10.3792/pjaa.82.61. Архивировано 27 марта 2009 года.
• Jens Kruse Andersen. Maximal Prime Gaps.
• Kaisa Matomäki. Large differences between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics. — 2007. — Т. 58. — doi:10.1093/qmath/ham021.
• Ingham A. E. On the difference between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics Oxford. — 1937. — Т. 8, вып. 1. — doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
• John Friedlander, Henryk Iwaniec. Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a  polynomial // PNAS. — 1997. — Т. 94, вып. 4. — doi:10.1073/pnas.94.4.1054. — PMID 11038598. — PMC 19742.
• Iwaniec H. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Inventiones Mathematicae. — 1978. — Т. 47, вып. 2. — doi:10.1007/BF01578070.
• Robert J. Lemke Oliver. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Acta Arithmetica. — 2012. — Т. 151. — doi:10.4064/aa151-3-2. (недоступная ссылка)
• Ankeny N. C. Representations of primes by quadratic forms // Amer. J. Math.. — 1952. — Т. 74, вып. 4.
• Jean-Marc Deshouillers, Henryk Iwaniec. On the greatest prime factor of ${\displaystyle n^{2}+1}$ // Annales de l'institut Fourier. — 1982. — Т. 32, вып. 4.
• Hooley C. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial // Acta Math.. — 1967. — Т. 117.
• Todd J. A problem on arc tangent relations // American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56. — С. 517–528. — doi:10.2307/2305526.

• Weisstein, Eric W. Landau's Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.