Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2024 год) решённой задачей тысячелетия.
Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n {\displaystyle n} -мерное многообразие гомотопически эквивалентно n {\displaystyle n} -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре эквивалентна частному случаю обобщённой гипотезы при n = 3 {\displaystyle n=3} . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ( 0 , 1 ) × × --> S 2 {\displaystyle (0,1)\times S^{2}} ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.
Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.
При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M {\displaystyle M} и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M {\displaystyle M} можно представить как набор сферических пространственных форм S 3 / Γ Γ --> i {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} , соединённых друг с другом трубками [ 0 , 1 ] × × --> S 2 {\displaystyle [0,1]\times S^{2}} . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M {\displaystyle M} диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S 3 / Γ Γ --> i {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} и более того все Γ Γ --> i {\displaystyle \Gamma _{i}} тривиальны. Таким образом, M {\displaystyle M} является связной суммой набора сфер, то есть сферой.
В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.
Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.
Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ ⩾ --> 5 {\displaystyle n\geqslant 5} получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом[англ.] (для n ⩾ ⩾ --> 5 {\displaystyle n\geqslant 5} , его доказательство было распространено на случаи n = 5 , 6 {\displaystyle n=5,6} Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 {\displaystyle n=4} было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.
Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.
Lokasi Pengunjung: 18.188.172.61