În geometrie, o diagramă Coxeter–Dynkin (sau diagramă Coxeter, graf Coxeter) este un graf cu muchii marcate cu numere (numite ramuri) reprezentând relațiile spațiale dintre o colecție de oglinzi (sau hiperplane de reflexie). Descrie o construcție caleidoscopică: fiecare nod al grafului reprezintă o oglindă (fațetă a domeniului) și eticheta atașată unei ramuri codifică ordinul unghiului diedru între două oglinzi (pe o față a domeniului), care este raportul dintre 180° și unghiul dintre planele oglinzilor. O ramură neetichetată reprezintă implicit ordinul 3 (60°).
Fiecare diagramă reprezintă un grup Coxeter, iar grupurile Coxeter sunt clasificate după diagramele lor asociate.
Diagramele Dynkin sunt obiecte strâns legate, care diferă de diagramele Coxeter în două privințe: în primul rând, ramurile etichetate cu "4" sau mai mult sunt orientate, în timp ce diagramele Coxeter sunt neorientate; în al doilea rând, diagramele Dynkin trebuie să satisfacă o restricție suplimentară (cristalografică), și anume că singurele etichete permise ale ramurilor sunt 2, 3, 4 și 6. Diagramele Dynkin corespund și sunt utilizate pentru a clasifica sistemele de rădăcini și, prin urmare, algebra Lie semisimplă.[1]
Descriere
Ramurile unei diagrame Coxeter–Dynkin sunt etichetate cu un număr raționalp, reprezentând un unghi diedru de 180°/p. p = 2 unghiul este de 90° și oglinzile nu au nicio interacțiune, astfel încât ramura poate fi omisă din diagramă. Dacă o ramură este nemarcată, se presupune că are p = 3, reprezentând un unghi de 60°. Două oglinzi paralele au o ramură marcată cu "∞". În principiu, n oglinzi pot fi reprezentate printr-un graf complet în care sunt trasate toate cele n(n − 1) / 2 ramuri. În practică, aproape toate configurațiile interesante ale oglinzilor includ un număr de unghiuri drepte, astfel încât ramurile corespunzătoare sunt omise.
Diagramele pot fi etichetate după structura grafului lor. Primele forme studiate de Ludwig Schläfli sunt ortoscheme care au grafuri liniare care generează politopuri regulate și faguri regulați. Plagioschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ramificate, iar cicloschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ciclice.
Matricea Schläfli
Orice diagramă Coxeter are o matrice Schläfli corespunzătoare (așa numită după Ludwig Schläfli), cu elementele ai,j = aj,i = −2cos (π / p) unde p este ordinul ramurilor dintre perechile de oglinzi. Ca matrice de cosinusuri, este numită și matrice Gramian după Jørgen Pedersen Gram. Toate matricile Schläfli ale grupurilor Coxeter sunt simetrice deoarece vectorii lor rădăcină sunt normalizați. Este legată îndeaproape de matricea Cartan, utilizată în graful similar dar orientat, diagrama Dynkin în cazurile cu p = 2, 3, 4 și 6, care NU sunt simetrice în general.
Determinantul matricei Schläfli, numit Schläflian, și semnul său determină dacă grupul este finit (pozitiv), afin (zero) sau nedefinit (negativ). Această regulă se numește Criteriul lui Schläfli.[2]
Valorile proprii ale matricei Schläfli determină dacă un grup Coxeter este de tip finit (toate pozitive), de tip afin (toate nenegative, cel puțin una fiind zero) sau de tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat, de ex. în grupuri Coxeter hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Totuși, există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice. În articol se folosește următoarea definiție: Un grup Coxeter cu diagramă conectată este hiperbolic dacă nu este nici de tip finit, nici afin, dar fiecare subdiagramă conectată adecvat este de tip finit sau afin. Un grup Coxeter hiperbolic este compact dacă toate subgrupurile sunt finite (adică au determinanți pozitivi) și paracompact dacă toate subgrupurile sale sunt finite sau afine (adică au determinanți negativi).
Grupurile finite și afine sunt numite și eliptice, respectiv parabolice. Grupurile hiperbolice se mai numesc și Lannér, după F. Lannér care a enumerat grupurile hiperbolice compacte în 1950,[3] și Koszul (sau cvasi-Lannér) pentru grupurile paracompacte.
Grupuri Coxeter de ordinul 2
La ordinul 2, tipul unui grup Coxeter este complet determinat de determinantul matricei Schläfli, deoarece este pur și simplu produsul valorilor proprii: tip finit (determinant pozitiv), tip afin (determinant zero) sau hiperbolic (determinant negativ). Coxeter folosește o notație cu paranteze echivalentă care afișează o secvență cu ordinea ramurilor ca înlocuitor pentru diagramele grafice nod-ramură. Există și soluții raționale [p/q], , cu cmmdc(p, q) = 1, care definesc domenii fundamentale suprapuse. De exemplu, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. și 6/5.
Liniile de reflexie sunt colorate pentru a corespunde nodurilor diagramei Coxeter. Domeniile fundamentale sunt colorate alternativ.
Grupuri Coxeter de ordinul 2
Ordin p
Grup
diagramă Coxeter
matrice Schläfli
Determinant (4-a21*a12)
Finite (determinant > 0)
2
I2(2) = A1xA1
[2]
4
3
I2(3) = A2
[3]
3
3/2
[3/2]
4
I2(4) = B2
[4]
2
4/3
[4/3]
5
I2(5) = H2
[5]
~1.38196601125
5/4
[5/4]
5/2
[5/2]
~3.61803398875
5/3
[5/3]
6
I2(6) = G2
[6]
1
6/5
[6/5]
8
I2(8)
[8]
~0.58578643763
10
I2(10)
[10]
~0.38196601125
12
I2(12)
[12]
~0.26794919243
p
I2(p)
[p]
Afin (determinant = 0)
∞
I2(∞) = =
[∞]
0
Hiperbolice (determinant ≤ 0)
∞
[∞]
0
∞
[iπ/λ]
Vizualizări geometrice
Diagrama Coxeter–Dynkin poate fi văzută ca o descriere grafică a domeniului fundamental al oglinzilor. O oglindă reprezintă un hiperplan într-un spațiu dimensional sferic sau euclidian sau hiperbolic dat. (În spațiile 2D, o oglindă este o dreaptă, iar în 3D o oglindă este un plan).
Aceste vizualizări arată domeniile fundamentale pentru grupurile euclidiene 2D și 3D, și grupurile sferice 2D. Pentru fiecare diagrama Coxeter poate fi dedusă prin identificarea hiperplanelor oglindă și etichetarea conectivității acestora, ignorând unghiurile diedrice de 90° (ordinul 2).
Grupuri Coxeter în planul euclidian cu diagrame echivalente. Reflexiile sunt etichetate ca noduri ale grafurilor: R1, R2 etc. și sunt colorate după ordinea lor de reflexie. Reflexiile la 90° sunt inactive, prin urmare sunt eliminate din diagramă. Oglinzile paralele sunt conectate printr-o ramură etichetată ∞. Grupul prismatic x este afișat ca o dublare a , dar pot fi create și ca domenii dreptunghiulare de la dublarea triunghiurilor . este o dublare a triunghiului .
Multe grupuri Coxeter din planul hiperbolic pot fi obținute din cazurile euclidiene ca o serie de soluții hiperbolice.
Grupuri Coxeter în spațiul tridimensional cu diagrame. Oglinzile (fețele triunghiului) sunt etichetate de vârful opus 0..3. Ramurile sunt colorate după ordinea lor de reflexie. umple 1/48 din cub. umple 1/24 din cub. umple 1/12 din cub.
Grupuri Coxeter în sferă cu diagrame echivalente. Un domeniu fundamental este conturat în galben. Vârfurile domeniului (și ramurile grafurilor) sunt colorate după ordinea lor de reflexie.
Grupuri Coxeter finite
Trei simboluri diferite sunt date pentru aceleași grupuri — ca literă/număr, ca set de numere între paranteze și ca diagramă Coxeter.
Grupurile bifurcate Dn sunt versiunea înjumătățită sau alternată a grupurilor regulate Cn.
Grupurile bifurcate Dn și En sunt, de asemenea, etichetate cu o notație cu exponenți [3a,b,c] undea,b,csunt numărul de segmente din fiecare din cele trei ramuri.
Diagramele Coxeter–Dynkin finite conectate (de ordinul 1 la 9)
La construcția politopurilor uniforme, nodurile sunt marcate ca active de un inel dacă punctul generator se află în afara oglinzii, creând o nouă latură între punctul generator și imaginea sa oglindă. Un nod fără inel reprezintă o oglindă inactivă care nu generează puncte noi. Un inel fără nod se numește gaură.
Două oglinzi ortogonale pot fi utilizate pentru a genera un pătrat, , marcat aici cu un punct roșu generator și 3 copii virtuale în oglinzi. Generatorul trebuie să fie dezactivat de ambele oglinzi în acest caz ortogonal pentru a genera un interior. Marcarea inelului presupune că inelele active au generatoare la distanță egală de toate oglinzile, în timp ce un dreptunghi poate reprezenta și o soluție neuniformă.
Diagramele Coxeter–Dynkin pot descrie în mod explicit aproape toate clasele de politopuri uniforme și teselări uniforme. Fiecare politop uniform cu simetrie de reflexie pură (toate, cu excepția câtorva cazuri particulare, au simetrie de reflexie pură) poate fi reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin cu permutări ale notațiilor. Fiecare politop uniform poate fi generat folosind astfel de oglinzi și un singur punct generator: imaginile în oglindă creează puncte noi ca reflexii, apoi laturile politopului pot fi definite între puncte și punctele imagini în oglindă. Fețele sunt generate de reflectarea repetată a unei laturi care eventual se înfășoară în jurul punctului generator inițial; forma finală, precum și orice fațete din dimensiunile superioare, sunt create în mod similar prin reflectarea feței pentru a închide o zonă.
Pentru a specifica vârful generator, unul sau mai multe noduri sunt marcate cu inele, ceea ce înseamnă că vârful nu este pe oglinzile reprezentate de nodul/nodurile inelate. (Dacă sunt marcate două sau mai multe oglinzi, vârful este echidistant de ele.) O oglindă este activă (creează reflexii) numai pentru punctele care nu se află pe ea. O diagramă are nevoie de cel puțin un nod activ pentru a reprezenta un politop. O diagramă neconectată (subgrupuri separate prin ramuri de ordinul 2 sau oglinzi ortogonale) necesită cel puțin un nod activ în fiecare subgraf.
Toate politopurile regulate, reprezentate prin simbolul Schläfli, pot avea domeniile lor fundamentale reprezentate de un set de n oglinzi cu o diagramă Coxeter–Dynkin aferentă a unei linii de noduri și ramuri etichetate cu cu primul nod inelat.
Politopurile uniforme cu un inel corespund punctelor generatoare în colțurile simplexului domeniului fundamental. Două inele corespund laturilor simplexului și au un grad de libertate, cu doar punctul de mijloc ca soluție uniformă pentru lungimi ale laturilor egale. În general k-punctele generatoare inelate sunt pe (k–1)-fețele simplexului, iar dacă toate nodurile sunt inelate, punctul generator se află în interiorul simplexului.
Cazul particular al politopurilor uniforme cu simetrie nereflexivă este reprezentat de un marcaj secundar în care punctul central al unui nod inelat este eliminat (numit gaură). Aceste forme sunt alternări ale politopurilor cu simetrie de reflexie, ceea ce înseamnă că nodurile alternate sunt șterse. Politopul rezultat va avea o subsimetrie a grupului Coxeter inițial. O alternare trunchiată se numește snub.
Există 7 construcții uniforme reflexive pe baza unui triunghi general, bazate pe 7 poziții generatoare topologice în domeniul fundamental. Fiecare oglindă activă generează o latură, cu două oglinzi active există generatoare pe laturile domeniului și cu trei oglinzi active generatorul este în interior. Unul sau două grade de libertate pot fi tratate astfel încât poziția rezultată să genereze laturi egale ale poliedrului sau ale plăcilor rezultate.
Exemple: 7 generatoare pe simetrie octaedrică, cu domeniul fundamental triunghiul (4 3 2), cu a 8-a generare snub ca alternare.
Un singur nod reprezintă o singură oglindă. Aceasta se numește grupul A1. Dacă este inelat, el creează un segment de dreaptă perpendicular pe oglindă, reprezentat ca {}.
Două noduri neconectate reprezintă două oglinzi perpendiculare. Dacă ambele noduri sunt inelate, se poate crea un dreptunghi sau, dacă punctul este la distanță egală de ambele oglinzi, un pătrat.
Două noduri conectate printr-o ramură de ordinul n poate crea un n-gon dacă punctul este pe o singură oglindă și un 2n-gon dacă punctul este în afara ambelor oglinzi. Aceasta formează grupul I1(n).
Două oglinzi paralele pot reprezenta un grup poligonal infinit I1(∞), numit și Ĩ1.
Trei oglinzi dispuse într-un triunghi formează imagini ca acelea văzute într-un caleidoscop tradițional și pot fi reprezentate prin trei noduri conectate într-un triunghi. Exemplele repetate vor avea ramuri etichetate ca (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), deși ultimele două pot fi trasate ca o linie (cu ramurile 2 ignorate). Acestea vor genera pavări uniforme.
Trei oglinzi cu una perpendiculară pe celelalte două pot forma prisme uniforme.
Dualele politopurilor uniforme sunt uneori marcate cu o bară perpendiculară care înlocuiește nodurile inelate și o gaură barată pentru găurile nodurilor snub. De exemplu, reprezintă un dreptunghi (prin două oglinzi ortogonale active), iar reprezintă poligonul său dual, rombul.
Exemple de poliedre și pavări
De exemplu, grupul Coxeter B3 are diagrama: . Aceasta este numită și simetrie octaedrică.
Există 7 poliedre uniforme convexe care pot fi construite din acest grup de simetrie și 3 din subsimetriile sale alternate, fiecare cu o diagramă Coxeter–Dynkin marcată în mod unic. Simbolul Wythoff reprezintă un caz special al diagramei Coxeter pentru grafurile de ordinul 3, cu toate cele 3 ordine ale ramurilor denumite, în loc de suprimarea ramurilor de ordinul 2. Simbolul Wythoff este capabil să gestioneze forma snub, dar nu alternări generale fără toate nodurile inelate.
Aceleași construcții pot fi făcute pe grupuri Coxeter disjuncte (ortogonale), cum ar fi prismele uniforme, și pot fi văzute mai clar ca pavări sferice ale diedrelor și hosoedrelor, ca familia [6]×[] sau [6.2]:
Prin comparație, familia [6,3], produce un set paralel de 7 pavări uniforme ale planului euclidian și pavările lor duale. Există din nou 3 alternări și unele versiuni cu simetria la jumătate.
În planul hiperbolic [7,3], familia produce un set paralel de pavări uniforme și pavările lor duale. Există doar o singură alternare snub deoarece toate ordinele ramurilor sunt impare. Există multe alte familii de pavări uniforme în planul hiperbolic.
Familii de teselări euclidiene uniforme convexe sunt definite de grupurile Coxeter afine. Aceste grupuri sunt identice cu grupurile finite, cu adăugarea unui nod. În notațiile literale li se dă aceeași literă cu o „~” deasupra literei. Indicele se referă la grupul finit, deci ordinul este indicele plus 1. (Simbolurile Ernst Witt pentru grupurile afine sunt menționate în lista următoare în paranteze.)
formează domeniile fundamentale triunghiulare 30-60-90. (V3)
= = sunt două oglinzi paralele. (W2)
De asemenea, grupurile compuse pot fi definite ca proiecții ortogonale. Cea mai obișnuită utilizare , ca și , reprezintă domenii pătrate sau dreptunghiulare în formă de tablă de șah în planul euclidian. Iar reprezintă domeniile fundamentale al prismei triunghiulare în spațiul euclidiantridimensional.
Există multe grupuri Coxeter hiperbolice infinite. Grupurile hiperbolice sunt clasificate ca fiind compacte sau nu, grupurile compacte având domenii fundamentale delimitate. Grupurile hiperbolice compacte de simplexuri (simplexuri Lannér) există de ordinele 3 – 5. Grupurile paracompacte de simplexuri (simplexuri Koszul) există până la ordinul 10. Grupurile hipercompacte (politopurile Vinberg) au fost explorate, dar nu sunt explorate complet. În 2006, Allcock a demonstrat că există infinit de multe politopuri Vinberg compacte pentru dimensiuni până la 6 și infinit de multe politopuri Vinberg cu volum finit pentru dimensiuni până la 19,[4] astfel că o enumerare completă nu este posibilă. Toate aceste domenii reflexive fundamentale, atât simpliciale cât și nesimpliciale, sunt adesea numite politopuri Coxeter sau uneori mai puțin precis poliedre Coxeter.
Grupul triunghiular hiperbolic bidimensional există ca diagrame Coxeter de ordinul 3, definite prin triunghiul (p q r) pentru:
.
Există infinit de multe grupuri Coxeter hiperbolice compacte triunghiulare, care conțin grafuri liniare și triunghiulare. Grafurile liniare există pentru triunghiurile dreptunghice (cu r=2).[5]
Grupurile Coxeter paracompacte de ordinul 3 există ca limită a celor compacte.
Grafuri liniare
Grafuri ciclice
[p,∞]
[∞,∞]
[(p,q,∞)]
[(p,∞,∞)]
[(∞,∞,∞)]
Grupul triunghiular aritmetic
Grupurile triunghiulare hiperbolice care sunt și grupuri aritmetice formează o submulțime finit. Lista completă a fost făcută cu ajutorul calculatorului de Kisao Takeuchi în lucrarea sa din 1977 Arithmetic triangle groups (românăGrupuri triunghiulare aritmetice).[6] Există 85 în total, 76 compacte și 9 paracompacte.
Grupuri ale poligoanelor hiperbolice altele decât triunghiurile
Domenii fundamentale ale grupurilor patrulatere
or [∞,3,∞] [iπ/λ1,3,iπ/λ2] (*3222)
or [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ1,3)),iπ/λ2] (*3322)
or [(3,∞)[2]] [(3,iπ/λ1,3,iπ/λ2)] (*3232)
or [(4,∞)[2]] [(4,iπ/λ1,4,iπ/λ2)] (*4242)
(*3333)
Domenii cu vârfuri ideale
[iπ/λ1,∞,iπ/λ2] (*∞222)
(*∞∞22)
[(iπ/λ1,∞,iπ/λ2,∞)] (*2∞2∞)
(*∞∞∞∞)
(*4444)
Alte caleidoscoape hiperbolice H2 pot fi construite din poligoane de ordin superior. La fel ca grupul triunghiular aceste caleidoscoape pot fi identificate printr-o secvență ciclică a ordinii de intersecție a oglinzilor în jurul domeniului fundamental, ca (a b c d ...), sau echivalent în notația orbifold ca *abcd.... Diagramele Coxeter–Dynkin pentru aceste caleidoscoape poligonale pot fi văzute ca domenii fundamentale degenerate de (n−1)-simplexuri, cu o ordine a ramurilor ciclică de ordinul a,b,c... și restul de n*(n–3) / 2 ramuri sunt etichetate ca infinite (∞) reprezentând oglinzile care nu se intersectează. Singurul exemplu nehiperbolic este simetria euclidiană cu patru oglinzi într-un pătrat sau dreptunghi ca , [∞,2,∞] (orbifold *2222). O altă reprezentare a ramurilor pentru oglinzile care nu se intersectează este folosită de Vinberg care notează ramurile infinite cu linii punctate sau întrerupte, astfel încât această diagramă poate fi afișată ca , cu patru ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului.
De exemplu, un domeniu patrulater (a b c d) va avea două ramuri de ordin infinit care conectează oglinzile ultratraparalele. Cel mai mic exemplu hiperbolic este , [∞,3,∞] saur [iπ/λ1,3,iπ/λ2] (orbifold *3222), unde (λ1, λ2) sunt distanța dintre oglinzile ultraparalele. Expresia alternativă este , cu trei ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului. Similar (2 3 2 3) (orbifold *3232) poate fi reprezentat ca , iar (3 3 3 3), (orbifold *3333) poate fi reprezentat ca un graf complet .
Cel mai înalt domeniu patrulater (∞ ∞ ∞ ∞) este un pătrat infinit, reprezentat printr-un graf tetraedric complet 4 ramuri pe perimetru ca vârfuri ideale și două ramuri diagonale infinite (prezentate ca linii punctate) pentru oglinzi ultraparalele: .
Compacte (grupuri simpliciale Lannér)
Grupurile hiperbolice compacte se numesc grupuri Lannér după Folke Lannér care le-a studiat prima dată în 1950.[7] Ele există doar sub forma grafurilor de ordinul 4 și 5. Coxeter a studiat grupurile Coxeter hiperbolice liniare în lucrarea sa din 1954 Regular Honeycombs in hyperbolic space (românăFaguri regulați în spațiul hiperbolic),[8] care conțin două soluții raționale în 4-spațiul hiperbolic: [5/2,5,3,3] = și [5,5/2,5,3] = .
Ordinele 4–5
Domeniul fundamental al oricăruia dintre cele două grupuri bifurcante, [5,31,1] și [5,3,31,1], este dublu față de cel al unui grup liniar corespunzător, [5,3,4] și respectiv [5,3,3,4]. Notațiile literale au fost date de Norman Johnson ca extensii ale simbolurilor Witt.[9]
Grupurile Coxeter hiperbolice paracompacte (numite și necompacte) conțin subgrupuri afine și au domenii fundamentale simpliciale asimptotice. Cel mai înalt grup Coxeter hiperbolic paracompact este de ordinul 10. Aceste grupuri poartă numele matematicianului francez Jean-Louis Koszul.[10] Sunt numite și grupuri cvasi-Lannér care extind grupurile Lannér compacte. S-a stabilit că lista este completă prin căutare computerizată de către M. Chein și publicată în 1969.[11]
După Vinberg, toate cu excepția a opt dintre aceste 72 de simplexuri compacte paracompacte sunt aritmetice. Două dintre grupurile nearitmetice sunt compacte: și . Celelalte șase grupuri nearitmetice sunt toate paracompacte, cu cinci grupuri tridimensionale , , , , și , și unul 5-dimensional .
Simplexuri ideale
Există 5 grupuri Coxeter hiperbolice care reprezintă simplexuri ideale, grafuri în care îndepărtarea unui nod oarecare le transformă într-un grup Coxeter afin. Astfel, toate vârfurile acestui simplex ideal sunt la infinit.[12]
Ordin
Grup ideal
Subgrup afin
3
[(∞,∞,∞)]
[∞]
4
[4[4]]
[4,4]
4
[3[3,3]]
[3[3]]
4
[(3,6)[2]]
[3,6]
6
[(3,3,4)[2]]
[4,3,3,4], [3,4,3,3]
,
Ordinele 4–10
Există un total de 58 de grupuri Coxeter hiperbolice paracompacte de la ordinul 4 până la 10. Toate cele 58 sunt grupate mai jos în cinci categorii. Simbolurile literale sunt date de Johnson ca simboluri Witt extinse, folosind PQRSTWUV din simbolurile Witt afine și adăugând LMNOXYZ. Pentru scheme ciclice aceste grupuri hiperbolice primesc o suprabarare sau o acoladă unghiulară. Notația Coxeter cu paranteze este o reprezentare liniarizată a grupului Coxeter.
Acești arbori reprezintă relațiile subgrupurilor grupurilor hiperbolice paracompacte. Indicii de subgrup pe fiecare conexiune sunt colorați în roșu.[13] Subgrupurile cu indicele 2 reprezintă o eliminare a oglinzii și dublarea fundamentală a domeniului. Altele pot fi deduse inferând comensurabilitatea (raportul întreg al volumelor) pentru domeniile tetraedrice.
La fel cum planul hiperbolic H2 are domenii poligonale netriunghiulare, există și domenii hiperbolice reflexive cu dimensiuni superioare. Aceste domenii nesimpliciale pot fi considerate simplexuri degenerate cu oglinzi de ordin infinit care nu se intersectează, sau, într-o diagramă Coxeter, astfel de ramuri sunt trasate cu linii punctate sau întrerupte. Aceste domenii nesimpliciale sunt numite politopuri Vinberg, după algoritmul Vinberg pentru găsirea domeniului fundamental nesimplicial al unui grup de reflexie hiperbolică. Geometric, aceste domenii fundamentale pot fi clasificate drept piramide patrulatere, sau prisme sau alte politopuri cu muchii generate de intersecție a două oglinzi având unghiurile diedre de π/n pentru n = 2, 3, 4... .
Într-un domeniu bazat pe un simplex există n+1 oglinzi pentru spațiul n-dimensional. În domeniile nesimpliciale, există mai mult de n+1 oglinzi. Lista este finită, dar nu este complet cunoscută. În schimb, au fost stabilite listele parțiale cu n+k oglinzi pentru k = 2, 3 și 4.
Grupurile Coxeter hipercompacte în spațiile tridimensionale sau mai mult diferă de grupurile bidimensionale într-un aspect esențial. Două n-goane hiperbolice având aceleași unghiuri în aceeași ordine ciclică pot avea laturi de lungimi diferite și nu sunt în general congruente. În schimb, politopurile Vinberg tridimensionale sau mai mult sunt complet determinate de unghiurile diedre. Acest fapt se bazează pe Teorema rigidității Mostow, că două grupuri izomorfe generate de reflexii în Hn pentru n ≥ 3, definesc domenii fundamentale congruente (politopurile Vinberg).
Politopuri Vinberg de ordinul n+2 din spațiul n-dimensional
Lista completă a politopurilor Vinberg hiperbolice compacte cu oglinzi de ordinul "n+2 din spațiul n-dimensional a fost stabilită de F. Esselmann în 1996.[14] O listă parțială a fost publicată în 1974 de I. M. Kaplinskaya.[15] Lista completă a soluțiilor paracompacte a fost publicată de P. Tumarkin în 2003, pentru dimensiuni de la 3 la 17.[16]
Cea mai mică formă paracompactă din H3 poate fi reprezentată de , sau [∞,3,3,∞] care poate fi construită printr-o îndepărtare în oglindă a grupului hiperbolic paracompact [3,4,4] ca [3,4,1+,4]. Domeniul fundamental dublat se schimbă de la un tetraedru la o piramidă patrulateră. Alte piramide includ [4,4,1+,4] = [∞,4,4,∞], = . Îndepărtarea unei oglinzi din unele dintre graficele Coxeter hiperbolice ciclice devin grafuri papion: [(3,3,4,1+,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3))] sau , [(3,4,4,1+,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] or , [(4,4,4,1+,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] or .
Alte grafuri paracompacte valide cu domenii fundamentale piramide patrulatere includ:
Dimensiune
Ordin
Grafuri
H3
5
, , , ,
, , , , ,
, , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
Alt subgrup [1+,41,1,1] = [∞,4,1+,4,∞] = [∞[6]]. = = .[17]
Politopuri Vinberg de ordinul n+3 din spațiul n-dimensional
Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate care există până în 8 dimensiuni. Lista completă a politopurilor Vinberg compacte cu oglinzi de ordinul "n+3 pentru spații n-dimensionale a fost stabilită de P. Tumarkin în 2004. Aceste grupuri sunt etichetate prin linii punctate/întrerupte pentru ramurile ultraparalele. Lista completă a politopurilor Vinberg necompacte cu oglinzi de ordinul n+3 și cu un vârf nesimplu din n-dimensiuni a fost stabilită de Mike Roberts.[18]
De la dimensiunile 4 până la 8, grupurile Coxeter de ordinele 7 până 11 sunt enumerate ca 44, 16, 3, 1 și respectiv 1.[19] Cel mai mare a fost descoperit de Bugaenko în 1984 în dimensiunea 8, ordinul 11:[20]
Dimensiuni
Ordin
Cazuri
Grafuri
H4
7
44
...
H5
8
16
..
H6
9
3
H7
10
1
H8
11
1
Politopuri Vinberg de ordinul n+4 din spațiul n-dimensional
Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate până îa 8 dimensiuni. Politopurile compacte Vinberg cu oglinzi de ordinul "n+4 din spațiul n-dimensional au fost explorate de A. Felikson și P. Tumarkin în 2005.[21]
Grupurile lorentziene pentru domeniile simpliciale pot fi definite ca grafuri dincolo de formele hiperbolice paracompacte. Acestea sunt uneori numite simplexuri superideale și sunt legate de o geometrie lorentziană, numită astfel după Hendrik Lorentz, în domeniul relativității restrânse și generale a spațiu–timpului, conținând una (sau mai multe) componente dimensionale „asemănătoare timpului” ale căror produse scalare proprii sunt negative.[9]Danny Calegari numește acestea grupuri Coxeter cocompacte convexe în spațiul hiperbolic n-dimensional.[22][23]
O lucrare din 1982 a lui George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups (românăÎmpachetarea sferelor și grupuri de reflexie hiperbolice), publică lista completă a lorentzienelor de la ordinul 5 la 11. El le numește de nivel 2, adică eliminarea oricărei permutări a 2 noduri duce la un graf finit sau euclidian. Enumerarea sa este completă, dar nu a enumerat grafurile care sunt un subgrup al altuia. Toate grupurile Coxeter cu ramuri de ordin superior lui 4 sunt lorentziene, terminându-se la limită ca un graf complet 3-simplex diagramă Coxeter–Dynkin cu 6 ramuri de ordin infinit, care poate fi exprimat ca [∞[3,3]]. Ordinele 5–11 au un număr finit de grupuri 186, 66, 36, 13, 10, 8 și respectiv 4 grupuri lorentziene.[24] Un articol din 2013, H. Chen și J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd–Maxwell ball packings (românăGrupuri Coxeter lorentziene și impachetări ale sferelor Boyd–Maxwell), au recalculat și publicat lista completă.[25]
Pentru ordinele superioare 8–11, listele complete sunt:
Uneori se folosesc expresii care particularizează utilizarea directă a diagramei Dynkin. Folosirea diagramelor la grupuri afine este considerată „extinsă” (englezăextended), la grupuri hiperbolice „supraextinsă” (englezăover-extended), iar la grupuri simpliciale „foarte extinsă” (englezăvery-extended). Aceste extensii sunt de obicei marcate cu un exponent de 1, 2 sau 3 simboluri „+” pentru numărul de noduri extinse. Această serie extinsă poate fi extinsă înapoi prin eliminarea secvențială a nodurile din aceeași poziție în graf, deși procesul se oprește după îndepărtarea nodului de ramificare. Familia extinsă E8 este cel mai frecvent exemplu de extindere înapoi la E3 și înainte spre E11.
Procesul de extindere poate defini o serie limitată de grafuri Coxeter care progresează de la finit la afin, la hiperbolic, la lorentzian. Determinantul matricelor Cartan determină unde seria se schimbă de la finit (pozitiv) la afin (zero) la hiperbolic (negativ) și se termină ca un grup lorentzian, conținând cel puțin un subgrup hiperbolic.[26] Grupurile necristalografice Hn formează o serie extinsă unde H4 este extensia ca grup hiperbolic compact și supraextensia ca grup lorentzian.
O diagramă Coxeter–Dynkin (simplu înlănțuită, finită, afină sau hiperbolică) care are o simetrie (care îndeplinește o condiție, mai jos) poate fi citată prin simetrie, rezultând o nouă diagramă, în general multiplu înlănțuită prin procesul numit „pliere”.[29][30]
De exemplu, în plierea D4 la G2, muchia din G2 trece din clasa celor 3 noduri exterioare (valența 1), la clasa nodului central (valența 3). Și E8 se pliază în 2 copii ale lui H4, a doua copie scalată cu φ.[31]
Geometric, aceasta corespunde proiecțiilor ortogonale ale politopurilor uniforme și teselărilor. În special, orice diagramă Coxeter–Dynkin finită simplu înlănțuită poate fi pliată la I2(h), unde h este numărul Coxeter, care corespunde geometric la o proiecție pe planul Coxeter.
Câteva plieri hiperbolice
Reflexii complexe
Diagramele Coxeter–Dynkin au fost extinse la spațiul complex, Cn unde nodurile sunt reflexii unitare cu perioadă mai mare de 2. Nodurile sunt etichetate cu un indice, fiind presupus 2 pentru o reflexie reală obișnuită dacă este suprimat. Coxeter descrie grupul complex, p[q]r, cu diagrama .[32]
Un politop complex regulat 1-dimensional din este descris prin , având p vârfuri. Reprezentarea sa reală este un poligon regulat, {p}. Simetria sa este p[] sau , de ordinul p. Un operator unitate generator pentru este văzut ca o rotație în cu 2π/p radiani în sens trigonometric, iar o latură este creată printr-o aplicare secvențială a unei singure reflexii unitare. un generator de reflexie unitară pentru un 1-politop cu p vârfuri este e2πi/p = cos(2π/p) + i sin(2π/p). Când p = 2, generatorul este eπi = –1, același cu reflexia punctului din planul real.
Într-un politop superior, p{} sau reprezintă un element p-față, cu o 2-față, {} sau , reprezintă o latură reală obișnuită între două vârfuri.
1-politopuri complexe regulate
1-politopuri complexe, , reprezentați în planul Argand ca poligoane regulate pentru p = 2, 3, 4, 5 și 6, cu vârfuri negre. Centrul vârfurilor p este colorat roșu. Laturile poligoanelor reprezintă o aplicație a generatorului de simetrie, aplicând fiecare vârf la următoarea copie în sens trigonometric. Aceste laturi poligonale nu sunt elemente de margine ale politopului, întrucât un 1-politop complex nu poate avea laturi (adesea el „este” o margine complexă) și conține doar elementele vârfuri.
12 grupuri Shephard ireductibile cu relațiile cu subgrupurile lor indexate (cu indici).[33] Subgrupurile cu indicele 2 se obțin prin eliminarea unei reflexii reale: p[2q]2 --> p[q]p, indice 2. p[4]q --> p[q]p, indice q.
Grupurile Shephard de ordinul 2 sunt: 2[q]2, p[4]2, 3[3]3, 3[6]2, 3[4]3, 4[3]4, 3[8]2, 4[6]2, 4[4]3, 3[5]3, 5[3]5, 3[10]2, 5[6]2 și 5[4]3 sau , , , , , , , , , , , , , de ordinul 2q, 2p2, 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 și respectiv 1800.
Grupul de simetrie p1[q]p2 este reprezentat prin 2 generatoare R1, R2, unde: R1p1 = R2p2 = I. Dacă q este par, (R2R1)q/2 = (R1R2)q/2. Dacă q este impar, (R2R1)(q-1)/2R2 = (R1R2)(q-1)/2R1. Când q este impar, p1=p2.
Grupul sau [1 1 1]p este definit de 3 perioade de 2 reflexii unitare {R1, R2, R3}: R12 = R12 = R32 = (R1R2)3 = (R2R3)3 = (R3R1)3 = (R1R2R3R1)p = 1. Perioada p poate fi văzută ca o rotație dublă în spațiul real .
Un grup similar sau [1 1 1](p) este definit de 3 perioade de 2 reflexii unitare {R1, R2, R3}: R12 = R12 = R32 = (R1R2)3 = (R2R3)3 = (R3R1)3 = (R1R2R3R2)p = 1.
Note
^en Hall, Brian C. (), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN978-0-387-40122-5
^en Coxeter, Regular Polytopes, 1973, p. 133, Schläfli's Criterion
^en Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71
^en Allcock, Daniel (). „Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19”. Geometry & Topology. 10 (2): 737–758. arXiv:0903.0138. doi:10.2140/gt.2006.10.737.
^en V. O. Bugaenko, Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12 i. Moscow Univ. Math. Bull. 39 (1984), 6-14.
en James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
enKaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6[2], Googlebooks [3]
en (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
en Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 978-0-486-40919-1 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
en Coxeter, Regular Polytopes (1963), Macmillan Company
en Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)
en H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
enNorman W. Johnson, Geometries and Transformations, Chapters 11,12,13, preprint 2011
en N.W. Johnson, Ruth Kellerhals, J.G. Ratcliffe, S.T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [4][5]
Huang XianfanHuang Xianfan (1932)Lahir(1899-11-13)13 November 1899Fusui, Guangxi Meninggal18 Januari 1982(1982-01-18) (umur 82)Guilin, Guangxi KebangsaanRRTAlmamaterSekolah Normal ketiga Nanning(1922-1926)Universitas Normal Beijing(1926-1935)Universitas Kekaisaran Tokyo(1935-1937)Dikenal atas pendiri Sekolah Bagui*pendiri Studi Zhuang*pendiri Sekolah Wunu*pendiri Universitas Lijian Karier ilmiahBidangHistoriografi, Etnologi, Antropologi, Folklor, Linguistik, Zhuangologi (atau Studi Zhua...
Shashank VyasVyas pada acara pesta Colors TV tahun 2015Lahir30 November 1986 (umur 37)Ujjain, Madhya Pradesh, India[1]Tempat tinggalMumbai, Maharashtra, IndiaKebangsaanIndiaPekerjaanAktor dan ModelTahun aktif2010–sekarangDikenal atasAnandhi sebagai Jagdish Bhairon Singh[2]Tinggi185 cm (6 ft 1 in)Orang tuaVikas. K. Vyas dan Geeta Vyas Shashank Vyas (lahir 30 November 1986) adalah seorang aktor, film televisi & model. Dia terkenal karena peran Jag...
French fencer (born 1980) Fabrice JeannetFabrice Jeannet at the 2007 European ChampionshipsPersonal informationBorn (1980-10-20) October 20, 1980 (age 43)Fort-de-France, MartiniqueHeight6 ft 3.5 in (192 cm)Weight187 lb (85 kg)SportCountryFranceSportFencingWeaponÉpéeHandRightYears on national team2001-2008Retired2008Highest ranking1FIE rankingCurrent ranking Medal record Men's fencing Representing France Olympic Games 2004 Athens Team épée 2008 Beij...
MSV DuisburgCalcio Die Zebras (Le Zebre) Segni distintivi Uniformi di gara Casa Trasferta Terza divisa Colori sociali Bianco, blu Simboli Zebra Dati societari Città Duisburg Nazione Germania Confederazione UEFA Federazione DFB Campionato 3. Liga Fondazione 1902 Allenatore Hagen Schmidt Stadio Schauinsland-Reisen-Arena(31.502 posti) Sito web www.msv-duisburg.de Palmarès Si invita a seguire il modello di voce Il Meidericher Spielverein Duisburg, spesso abbreviato in MSV Duisburg o anch...
Pour les articles homonymes, voir Carey. Mariah Carey Mariah Carey lors du Caution World Tour, à Amsterdam, en 2019.Informations générales Naissance 27 mars 1969 (55 ans)Huntington, État de New York, États-Unis Activité principale Auteure-compositrice-interprète-productrice Activités annexes Actrice, femme d'affaires Genre musical RnB, pop, hip-hop, soul, gospel Instruments Voix, piano Années actives Depuis 1990 Labels Columbia, Virgin, Island, Epic Site officiel mariahcarey.co...
У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер Статуя Юпитера Тонанса. Национальный музей Прадо, IV в н. э. бог неба, дневного света, грозы, отец богов, верховное божество римлян Мифология римская Пол мужской Отец Сатурн Мать Опа Братья и сёс�...
Not to be confused with Mi'raj. City in Sangli District, Maharashtra, India This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Miraj – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this message) City in Maharashtra, IndiaMirajCityLaxmi Market in MirajMirajCoordinates: ...
Dadi Nicolas Nazionalità Haiti Altezza 180 cm Peso 88 kg Football americano Ruolo Linebacker Squadra Denver Broncos CarrieraGiovanili Virginia Tech HokiesSquadre di club 2016-2017 Kansas City Chiefs2018 Seattle Seahawks2018 Washington Redskins2019 Indianapolis Colts2019- Denver Broncos Statistiche aggiornate al 15 dicembre 2016 Modifica dati su Wikidata · Manuale Dadi L'homme Nicolas (Port-au-Prince, 29 settembre 1992) è un giocatore di ...
سباق تتابع جري سباق تتابع سباحة سباق التتابع[1] من المسابقات في ألعاب القوى، يتألف الفريق في هذا النوع من المسابقات عادة من أربعة لاعبين، وتكون عادة إما بالركض أو السباحة.[2][3][4] أما في الجري فيتألف كل منها من أربعة عدائين يركض كل منهم المسافة المقررة سواء أك�...
Mario Lanza Mario Lanza (31 Januari 1921-7 September 1959) merupakan seorang penyanyi tenor berkebangsaan Amerika Serikat yang menjadi terkenal pada era 1940-an dan 1950-an. Dia dilahirkan di Philadelphia dengan nama Alfredo Arnold Cocozza. Dia berkarier di dunia film sejak tahun 1944. Filmografi Winged Victory, 1944 That Midnight Kiss, 1949 The Toast of New Orleans, 1950 The Great Caruso, 1951 Because You're Mine, 1952 The Student Prince, 1954 Serenade, 1956 Seven Hills of Rome, 1958 For the...
American liberal think tank The Roosevelt InstituteMottoCarrying forward the legacy and values of Franklin and Eleanor Roosevelt.Established1987; 37 years ago (1987)ChairAnna Eleanor RooseveltPresident & CEOFelicia WongBudgetRevenue: $7,261,621Expenses: $6,807,755(FYE December 2016)[1]Address570 Lexington Ave., 5th floor New York, NY 10022LocationNew York, NYWebsitewww.rooseveltinstitute.org The Roosevelt Institute is a liberal American think tank headquartered i...
Tenth and final avatar of Hindu deity Vishnu For other uses, see Kalki (disambiguation). KalkiMember of DashavataraRaja Ravi Varma's portrayal of KalkiAffiliationVaishnavismWeaponNandaka or Ratnamaru (Sword)MountDevadatta, either a manifestation of Garuda or divine horses[1][2][3]FestivalsKalki Jayanti[4]GenealogyParentsVishnuyashas (father),[9] Sumati (mother)[10]SpousePadmavati[5] and Ramā[6]ChildrenJaya and Vijaya (From Padma...
Mesoamerican rite Volador redirects here. For the wrestlers known as Volador, see Super Parka and Volador Jr. Flying Men starting their dance, Teotihuacan Totonacs of Papantla, Veracruz performing the voladores ritual Short video of Voladores ritual dance, Cozumel, MX The Danza de los Voladores (Spanish pronunciation: [ˈdansa ðe los βolaˈðoɾes]; Dance of the Flyers), or Palo Volador (pronounced [ˈpalo βolaˈðoɾ]; flying pole), is an ancient Mesoamerican ceremony/ritu...
Letters placed after a person's name bestowing a rank or title to them Postnominal redirects here. For adjectives that follow their noun, see Postnominal adjective. The examples and perspective in this article may not represent a worldwide view of the subject. You may improve this article, discuss the issue on the talk page, or create a new article, as appropriate. (March 2021) (Learn how and when to remove this message) Post-nominal letters, also called post-nominal initials, post-nominal ti...
Football at the1996 Summer OlympicsQualificationmenwomenTournamentmenwomenSquadsmenwomenvte Eight teams competed in the women's football tournament at the 1996 Summer Olympics. In addition to the host nation, the United States, seven other teams qualified for the tournament based on the results from the 1995 FIFA Women's World Cup. Method Unlike the men's competition, there was no fixed slot allocation for the women's tournament. Instead, the 1995 FIFA Women's World Cup would be used as the ...
Bachir YellèsBachir Yellès dans son atelier en 2000.FonctionDirecteurÉcole supérieure des beaux-arts d'Alger1962-1982BiographieNaissance 12 septembre 1921TlemcenDécès 16 août 2022 (à 100 ans)AlgerNom dans la langue maternelle بشير يلسNom de naissance PpNationalité algérienneFormation École nationale supérieure des beaux-artsÉcole supérieure des beaux-arts d'AlgerActivités Peintre, dessinateur de timbres, enseignantAutres informationsA travaillé pour Musée national...
Tour d'Égypte Généralités Sport cyclisme sur route Création 1951 Éditions 31 (en 2019) Catégorie UCI Africa Tour 2.2 Type / Format course à étapes Périodicité annuel (février/mars) Lieu(x) Égypte Statut des participants professionnelsamateurs Palmarès Tenant du titre Polychrónis Tzortzákis Pour la compétition en cours voir : Tour d'Égypte 2019 modifier Le Tour cycliste d'Égypte est une épreuve cycliste par étapes organisée en Égypte. Elle est ouverte aux ...