Na matemática, as funções trigonométricas (também chamadas de funções circulares, funções angulares ou funções goniométricas)^[1] são funções reais que relacionam um ângulo de um triângulo retângulo a razões de dois comprimentos laterais. Elas são amplamente utilizadas em todas as ciências relacionadas à geometria, como navegação, mecânica dos sólidos, mecânica celeste, geodésia e muitas outras. Elas estão entre as funções periódicas mais simples e, como tal, também são amplamente utilizadas para estudar fenômenos periódicos por meio da análise de Fourier.

Trigonometria
História Funções (sen, cos, tan, inversas)
Referência
Identidades Constantes exatas Círculo unitário
Leis e teoremas
Senos Cossenos Tangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  Derivadas
Matemáticos
Hiparco Ptolemeu Brahmagupta al-Battānī Regiomontanus Viète de Moivre Euler Fourier
v d e

As funções trigonométricas mais amplamente usadas na matemática moderna são as funções de seno, de cosseno e de tangente. Suas recíprocas são respectivamente as funções de cossecante, de secante, e de cotangente, que são menos usadas. Cada uma dessas seis funções trigonométricas tem uma função inversa correspondente, e uma análoga entre as funções hiperbólicas.

As definições mais antigas de funções trigonométricas, relacionadas a triângulos retângulos, as definem apenas para ângulos agudos. Para estender as funções de seno e de cosseno para funções cujo domínio é toda a reta real, definições geométricas usando o círculo unitário padrão (ou seja, um círculo com raio de 1 unidade) são frequentemente usadas; então o domínio das outras funções é a reta real com alguns pontos isolados removidos. Definições modernas expressam funções trigonométricas como séries infinitas ou como soluções de equações diferenciais. Isso permite estender o domínio das funções de seno e de cosseno para todo o plano complexo, e o domínio das outras funções trigonométricas para o plano complexo com alguns pontos isolados removidos.

Convencionalmente, uma abreviação do nome de cada função trigonométrica é usada como seu símbolo em fórmulas. Hoje, as versões mais comuns dessas abreviações são "sen" para seno, "cos" para cosseno, "tan" ou "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" ou "cosec" para cossecante e "cot" ou "ctg" para cotangente. Historicamente, essas abreviações foram usadas pela primeira vez em frases em prosa para indicar segmentos de linha específicos ou seus comprimentos relacionados a um arco de um círculo arbitrário e, mais tarde, para indicar proporções de comprimentos, mas à medida que o conceito de função se desenvolveu nos séculos XVII e XVIII, elas começaram a ser consideradas como funções de medidas de ângulos com valores numéricos reais e escritas com notação funcional, por exemplo, sen(x). Parênteses ainda são frequentemente omitidos para reduzir a desordem, mas às vezes são necessários; por exemplo, a expressão ${\displaystyle \operatorname {sen} x+y}$ normalmente seria interpretada como ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)+y,}$ então parênteses são necessários para expressar ${\displaystyle \operatorname {sen}(x+y)}$.

Um inteiro positivo aparecendo como um sobrescrito após o símbolo da função denota exponenciação, não composição de função. Por exemplo, ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x}$ e ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(x)}$ denotam ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cdot \operatorname {sen}(x)}$, não ${\displaystyle \operatorname {sen}(\operatorname {sen} x)}$. Isso difere da notação funcional geral (historicamente posterior) em que ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))}$.

No entanto, o expoente ${\displaystyle {-1}}$ é comumente usado para denotar a função inversa, não a recíproca. Por exemplo, ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}x}$ e ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}(x)}$ denotam a função trigonométrica inversa escrita alternativamente ${\displaystyle {\text{arcsen }}x}$: A equação ${\displaystyle \theta =\operatorname {sen} ^{-1}x}$ implica ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =x,}$ não ${\displaystyle \theta \cdot \operatorname {sen} x=1}$. Neste caso, o sobrescrito pode ser considerado como denotando uma função iterada ou composta, mas sobrescritos negativos diferentes de ${\displaystyle {-1}}$ não são de uso comum.

Se o ângulo agudo θ for dado, então quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo de θ são semelhantes entre si. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de θ. Assim, essas seis razões definem seis funções de θ, que são as funções trigonométricas. Nas definições a seguir, a hipotenusa é o comprimento do lado oposto ao ângulo reto, oposto representa o lado oposto ao ângulo θ dado, e adjacente representa o lado entre o ângulo θ e o ângulo reto.^[2][3]

Vários mnemônicos podem ser usados para lembrar essas definições.

Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, 90° ou ⁠π2 radianos. Portanto, ${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )}$ e ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$ representam a mesma razão e, portanto, são iguais. Essa identidade e relações análogas entre as outras funções trigonométricas são resumidas na tabela a seguir.

Resumo das relações entre funções trigonométricas^[4]

Função	Descrição	Relação
		usando radianos	usando graus
seno	opostohipotenusa	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
cosseno	adjacentehipotenusa	${\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\operatorname {sen} \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
tangente	opostoadjacente	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
cotangente	adjacenteoposto	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\operatorname {sen} x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
secante	hipotenusaadjacente	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
cossecante	hipotenusaoposto	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\operatorname {sen} x}}}$

Nas aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um ângulo. Para esse propósito, qualquer unidade angular é conveniente. Uma unidade comum é graus, em que um ângulo reto é 90° e uma volta completa é 360° (particularmente na matemática elementar).

No entanto, no cálculo e na análise matemática, as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números reais ou complexos, em vez de ângulos. De fato, as funções sen e cos podem ser definidas para todos os números complexos em termos da função exponencial, via séries de potências,^[5] ou como soluções para equações diferenciais dados valores iniciais particulares^[6] (veja abaixo), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas (tan, cot, sec, csc) podem ser definidas como quocientes e recíprocas de sen e cos, exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado um ângulo em radianos.^[5] Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as derivadas e integrais indefinidas para as funções trigonométricas.^[7] Assim, nos cenários além da geometria elementar, radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever medidas de ângulos.

Quando radianos (rad) são empregados, o ângulo é dado como o comprimento do arco do círculo unitário subtendido por ele: o ângulo que subtende um arco de comprimento 1 no círculo unitário é 1 rad (≈ 57,3°), e uma volta completa (360°) é um ângulo de 2π (≈ 6,28) rad. Para o número real x, a notação sen x, cos x, etc. refere-se ao valor das funções trigonométricas avaliadas em um ângulo de x rad. Se unidades de graus forem pretendidas, o sinal de grau deve ser explicitamente mostrado (sen x°, cos x°, etc.). Usando essa notação padrão, o argumento x para as funções trigonométricas satisfaz a relação x = (180x/π)°, de modo que, por exemplo, sen π = sen 180° quando tomamos x = π. Dessa forma, o símbolo de grau pode ser considerado uma constante matemática tal que 1° = π/180 ≈ 0,0175.

As seis funções trigonométricas podem ser definidas como valores de coordenadas de pontos no plano euclidiano que estão relacionados ao círculo unitário, que é o círculo de raio um centrado na origem O deste sistema de coordenadas. Enquanto as definições de triângulo retângulo permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre 0 e ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radianos (90°), as definições do círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos.

Seja ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ o raio obtido pela rotação de um ângulo θ da metade positiva do eixo x (rotação anti-horária para ${\displaystyle \theta >0}$, e rotação horária para ${\displaystyle \theta <0}$). Este raio intercepta o círculo unitário no ponto ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })}$. O raio ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, estendido para uma reta se necessário, intercepta a reta da equação ${\displaystyle x=1}$ no ponto ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} })}$, e a reta da equação ${\displaystyle y=1}$ no ponto ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1)}$. A reta tangente ao círculo unitário no ponto A, é perpendicular a ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, e intercepta os eixos y e x nos pontos ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ e ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)}$. As coordenadas desses pontos fornecem os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrário de θ da seguinte maneira.

As funções trigonométricas de cos e sen são definidas, respectivamente, como os valores das coordenadas x e y do ponto A. Ou seja,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$ e ${\displaystyle \quad \operatorname {sen} \theta =y_{\mathrm {A} }}$.^[9]

No intervalo ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$, esta definição coincide com a definição do triângulo retângulo, tomando o triângulo retângulo como tendo o raio unitário OA como hipotenusa. E como a equação ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ vale para todos os pontos ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$ no círculo unitário, esta definição de cosseno e seno também satisfaz a identidade pitagórica.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1}$

As outras funções trigonométricas podem ser encontradas ao longo do círculo unitário como

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$ e ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} }}$,

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$ e ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }}$.

Ao aplicar os métodos de identidade pitagórica e de prova geométrica, essas definições podem ser facilmente demonstradas como coincidentes com as definições de tangente, cotangente, secante e cossecante em termos de seno e cosseno, ou seja:

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}$.

Como uma rotação de um ângulo de ${\displaystyle \pm 2\pi }$ não altera a posição ou o tamanho de uma forma, os pontos A, B, C, D, e E são os mesmos para dois ângulos cuja diferença é um múltiplo inteiro de ${\displaystyle 2\pi }$. Assim, as funções trigonométricas são funções periódicas com período ${\displaystyle 2\pi }$. Ou seja, as igualdades

${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen} \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$ e ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

valem para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k. O mesmo é verdade para as outras quatro funções trigonométricas. Observando o sinal e a monotonicidade das funções de seno, cosseno, cossecante e secante nos quatro quadrantes, pode-se mostrar que ${\displaystyle 2\pi }$ é o menor valor para o qual elas são periódicas (ou seja, ${\displaystyle 2\pi }$ é o período fundamental dessas funções). No entanto, após uma rotação de um ângulo ${\displaystyle \pi }$, os pontos B e C já retornam à sua posição original, de modo que a função de tangente e a função de cotangente têm um período fundamental de ${\displaystyle \pi }$. Isto é, as igualdades

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$ e ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

valem para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k.

As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes:

${\displaystyle \operatorname {sen} 0=\operatorname {sen} 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$ (ângulo zero/nulo)

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {sen} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {sen} 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {sen} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {sen} 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$ (ângulo reto)

Escrever os numeradores como raízes quadradas de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores.^[10]

Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto.

• Para um ângulo que, medido em graus, é um múltiplo de três, os valores trigonométricos exatos do seno e do cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas. Esses valores do seno e do cosseno podem, portanto, ser construídos por régua e compasso.
• Para um ângulo de um número inteiro de graus, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas e da raiz cúbica de um número complexo que não é real. A teoria de Galois permite uma prova de que, se o ângulo não for um múltiplo de 3°, raízes cúbicas que não são reais são inevitáveis.
• Para um ângulo que, expresso em graus, é um número racional, o seno e o cosseno são números algébricos, que podem ser expressos em termos de raízes n-ésimas. Isso resulta do fato de que os grupos de Galois dos polinômios ciclotômicos são cíclicos.
• Para um ângulo que, expresso em graus, não é um número racional, então o ângulo ou tanto o seno quanto o cosseno são números transcendentais. Este é um corolário do teorema de Baker, provado em 1966.

A tabela a seguir lista os senos, cossenos e tangentes de múltiplos de 15 graus de 0 a 90 graus.

Ângulo, θ, em		${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
radianos	graus
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Indefinido

G. H. Hardy observou em seu trabalho de 1908, Um Curso de Matemática Pura, que a definição das funções trigonométricas em termos do círculo unitário não é satisfatória, porque depende implicitamente de uma noção de ângulo que pode ser medida por um número real.^[11] Assim, na análise moderna, as funções trigonométricas são geralmente construídas sem referência à geometria.

Existem várias maneiras na literatura para definir as funções trigonométricas de uma maneira adequada para análise; elas incluem:

• Usando a "geometria" do círculo unitário, que requer a formulação do comprimento do arco de um círculo (ou área de um setor) analiticamente.^[11]
• Por uma série de potências, que é particularmente adequada para variáveis complexas.^[11][12]
• Usando uma expansão de produto infinito.^[11]
• Invertendo as funções trigonométricas inversas, que podem ser definidas como integrais de funções algébricas ou racionais.^[11]
• Como soluções de uma equação diferencial.

Seno e cosseno podem ser definidos como a solução única para o problema do valor inicial:^[13]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x,\ \operatorname {sen}(0)=0,\ \cos(0)=1}$

Diferenciando novamente, ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\operatorname {sen} x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x}$ e ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=-\cos x}$, então tanto seno quanto cosseno são soluções da mesma equação diferencial ordinária

${\displaystyle y''+y=0\,}$

Seno é a solução única com y(0) = 0 e y′(0) = 1; cosseno é a solução única com y(0) = 1 e y′(0) = 0.

Pode-se então provar, como um teorema, que as soluções ${\displaystyle \cos ,\operatorname {sen} }$ são periódicas, tendo o mesmo período. Escrever esse período como ${\displaystyle 2\pi }$ é então uma definição do número real ${\displaystyle \pi }$ que é independente da geometria.

Aplicando a regra do quociente à tangente ${\displaystyle \tan x=\operatorname {sen} x/\cos x}$,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\operatorname {sen} ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

então a função tangente satisfaz a equação diferencial ordinária

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,}$

É a solução única com y(0) = 0.

As funções trigonométricas básicas podem ser definidas pelas seguintes expansões de séries de potências.^[14] Essas séries também são conhecidas como série de Taylor ou série de Maclaurin dessas funções trigonométricas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$

O raio de convergência dessas séries é infinito. Portanto, o seno e o cosseno podem ser estendidos para funções inteiras (também chamadas de "seno" e "cosseno"), que são (por definição) funções de valor complexo que são definidas e holomórficas em todo o plano complexo.

A diferenciação termo a termo mostra que o seno e o cosseno definidos pela série obedecem à equação diferencial discutida anteriormente e, inversamente, pode-se obter essas séries a partir de relações de recursão elementares derivadas da equação diferencial.

Sendo definidas como frações de funções inteiras, as outras funções trigonométricas podem ser estendidas para funções meromórficas, ou seja, funções que são holomórficas em todo o plano complexo, exceto alguns pontos isolados chamados polos. Aqui, os polos são os números da forma ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ para a tangente e a secante, ou ${\displaystyle k\pi }$ para a cotangente e a cossecante, onde k é um inteiro arbitrário.

As relações de recorrência também podem ser computadas para os coeficientes da série de Taylor das outras funções trigonométricas. Essas séries têm um raio de convergência finito. Seus coeficientes têm uma interpretação combinatória: eles enumeram permutações alternadas de conjuntos finitos.^[15]

Mais precisamente, definindo

U_n, o n-ésimo número para cima/baixo,

B_n, o n-ésimo número de Bernoulli, e

E_n, é o n-ésimo número de Euler,

temos as seguintes expansões de série: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{para }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{para }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{para }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{para }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}$

As seguintes frações contínuas são válidas em todo o plano complexo:

${\displaystyle \operatorname {sen} x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

A última foi usada na primeira prova histórica de que π é irracional.^[17]

Há uma representação de série como expansão de fração parcial onde funções recíprocas recém-transladadas são somadas, de modo que os polos da função cotangente e as funções recíprocas correspondem:^[18]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Essa identidade pode ser provada com o truque de Herglotz.^[19] Combinar o (–n)ésimo com o n-ésimo termo leva a séries absolutamente convergentes:

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}}$

Da mesma forma, pode-se encontrar uma expansão de fração parcial para as funções secante, cossecante e tangente:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}}}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}}$

O seguinte produto infinito para o seno é devido a Leonhard Euler, e é de grande importância na análise complexa:^[20]

${\displaystyle \operatorname {sen} z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} }$

Isso pode ser obtido a partir da decomposição de fração parcial de ${\displaystyle \cot z}$ dada acima, que é a derivada logarítmica de ${\displaystyle \operatorname {sen} z}$.^[21] Disto, pode-se deduzir também que

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} }$

A fórmula de Euler relaciona seno e cosseno à função exponencial:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}$

Esta fórmula é comumente considerada para valores reais de x, mas permanece verdadeira para todos os valores complexos.

Prova: Seja ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\operatorname {sen} x}$, e ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}}$. Temos d ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ para j = 1, 2. A regra do quociente implica, portanto, que ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$. Portanto, ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$ é uma função constante, que é igual a 7000100000000000000♠1, pois ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1}$. Isso prova a fórmula.

Temos

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\operatorname {sen} x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\operatorname {sen} x\end{aligned}}}$

Resolvendo este sistema linear em seno e cosseno, pode-se expressá-los em termos da função exponencial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\end{aligned}}}$

Quando x é real, isso pode ser reescrito como

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \operatorname {sen} x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)}$

A maioria das identidades trigonométricas pode ser provada expressando funções trigonométricas em termos da função exponencial complexa usando as fórmulas acima e, em seguida, usando a identidade ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$ para simplificar o resultado.

A fórmula de Euler também pode ser usada para definir a função trigonométrica básica diretamente, como segue, usando a linguagem de grupos topológicos.^[22] O conjunto ${\displaystyle U}$ de números complexos de módulo unitário é um grupo topológico compacto e conectado, que tem uma vizinhança da identidade que é homeomórfica à reta real. Portanto, é isomórfico como um grupo topológico ao grupo toro unidimensional ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, por meio de um isomorfismo $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U}$$ Em termos pedestres ${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$, e esse isomorfismo é único até a obtenção de conjugados complexos.

Para um número real diferente de zero ${\displaystyle a}$ (a base), a função ${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$ define um isomorfismo do grupo ${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$. As partes real e imaginária de ${\displaystyle e(t/a)}$ são o cosseno e o seno, onde ${\displaystyle a}$ é usado como base para medir ângulos. Por exemplo, quando ${\displaystyle a=2\pi }$, obtemos a medida em radianos e as funções trigonométricas usuais. Quando ${\displaystyle a=360}$, obtemos o seno e o cosseno de ângulos medidos em graus.

Note que ${\displaystyle a=2\pi }$ é o valor único no qual a derivada $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ se torna um vetor unitário com parte imaginária positiva em ${\displaystyle t=0}$. Este fato pode, por sua vez, ser usado para definir a constante ${\displaystyle 2\pi }$.

Outra maneira de definir as funções trigonométricas na análise é usando integração.^[11][23] Para um número real ${\displaystyle t}$, coloque $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ onde isso define esta função tangente inversa. Além disso, ${\displaystyle \pi }$ é definido por $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ uma definição que remonta a Karl Weierstrass.^[24]

No intervalo ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$, as funções trigonométricas são definidas pela inversão da relação ${\displaystyle \theta =\arctan t}$. Assim, definimos as funções trigonométricas por $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \operatorname {sen} \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ onde o ponto ${\displaystyle (t,\theta )}$ está no gráfico de ${\displaystyle \theta =\arctan t}$ e a raiz quadrada positiva é obtida.

Isso define as funções trigonométricas em ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$. A definição pode ser estendida a todos os números reais observando primeiro que, como ${\displaystyle \theta \to \pi /2}$, ${\displaystyle t\to \infty }$, e então ${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$ e ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$. Assim, ${\displaystyle \cos \theta }$ e ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$ são estendidos continuamente de modo que ${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\operatorname {sen}(\pi /2)=1}$. Agora as condições ${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$ e ${\displaystyle \operatorname {sen}(\theta +\pi )=-\operatorname {sen}(\theta )}$ definem o seno e o cosseno como funções periódicas com período ${\displaystyle 2\pi }$, para todos os números reais.

Comprovando as propriedades básicas do seno e do cosseno, incluindo o fato de que seno e cosseno são analíticos, pode-se primeiro estabelecer as fórmulas de adição. Primeiro, $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ vale, desde que ${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$, já que $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ após a substituição ${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$. Em particular, o caso limite como ${\displaystyle s\to \infty }$ dá $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0)}$$Assim, temos $${\displaystyle \operatorname {sen} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ e $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\operatorname {sen}(\theta )}$$ Portanto, as funções seno e cosseno são relacionadas pela translação ao longo de um quarto de período ${\displaystyle \pi /2}$.

Também é possível definir as funções trigonométricas usando várias equações funcionais.

Por exemplo,^[25] o seno e o cosseno formam o par único de funções contínuas que satisfazem a fórmula da diferença

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y}$

e a condição adicionada

${\displaystyle 0<x\cos x<\operatorname {sen} x<x\quad {\text{ para }}\quad 0<x<1}$

O seno e o cosseno de um número complexo ${\displaystyle z=x+iy}$ podem ser expressos em termos de funções hiperbólicas, cossenos, e senos reais da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} z&=\operatorname {sen} x\cosh y+i\cos x{\text{ senh }}y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\operatorname {sen} x{\text{ senh }}y\end{aligned}}}$

Tirando vantagem da coloração de domínio, é possível representar graficamente as funções trigonométricas como funções de valor complexo. Vários recursos exclusivos das funções complexas podem ser vistos no gráfico; por exemplo, as funções seno e cosseno podem ser vistas como ilimitadas à medida que a parte imaginária de ${\displaystyle z}$ se torna maior (já que a cor branca representa o infinito), e o fato de que as funções contêm zeros ou polos simples é aparente pelo fato de que o matiz circula em torno de cada zero ou polo exatamente uma vez. Comparar esses gráficos com aqueles das funções hiperbólicas correspondentes destaca as relações entre os dois.

Funções trigonométricas no plano complexo

${\displaystyle \operatorname {sen} z\,}$ ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$ ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \csc z\,}$

As funções de cosseno e de seno são periódicas, com período ${\displaystyle 2\pi }$, que é o menor período positivo: $${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \operatorname {sen}(z+2\pi )=\operatorname {sen}(z)}$$ Consequentemente, a secante e a cossecante também têm ${\displaystyle 2\pi }$ como seu período. As funções de seno e de cosseno também têm semiperíodos ${\displaystyle \pi }$, e: $${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \operatorname {sen}(z+\pi )=-\operatorname {sen}(z)}$$ Segue-se, portanto, que $${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$ bem como outras identidades, como $${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \operatorname {sen} ^{2}(z+\pi )=\operatorname {sen}(z),\quad \cos(z+\pi )\operatorname {sen}(z+\pi )=\cos(z)\operatorname {sen}(z)}$$ Também temos: $${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\operatorname {sen}(x),\quad \operatorname {sen}(x+\pi /2)=\cos(x)}$$ A função ${\displaystyle \operatorname {sen}(z)}$ tem um zero único (em ${\displaystyle z=0}$) na faixa ${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$. A função ${\displaystyle \cos(z)}$ tem o par de zeros ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ no mesmo domínio. Devido à periodicidade, os zeros de seno são: $${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} }$$ Os zeros de cosseno são: $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} }$$ Todos os zeros são zeros simples, e cada função tem derivada ${\displaystyle \pm 1}$ em cada um dos zeros.

A função de tangente ${\displaystyle \tan(z)=\operatorname {sen}(z)/\cos(z)}$ tem um zero simples em ${\displaystyle z=0}$ e assíntotas verticais em ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$, onde tem um polo simples de resíduo ${\displaystyle -1}$. Novamente, devido à periodicidade, os zeros são todos os múltiplos inteiros de ${\displaystyle \pi }$ e os polos são múltiplos ímpares de ${\displaystyle \pi /2}$, todos tendo o mesmo resíduo. Os polos correspondem a assíntotas verticais $${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty }$$ A função de cotangente ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\operatorname {sen}(z)}$ tem um polo simples de resíduo 1 nos múltiplos inteiros de ${\displaystyle \pi }$ e zeros simples nos múltiplos ímpares de ${\displaystyle \pi /2}$. Os polos correspondem às assíntotas verticais $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty }$$

Muitas identidades inter-relacionam as funções trigonométricas. Esta seção contém as mais básicas; para mais identidades, veja Lista de identidades trigonométricas. Essas identidades podem ser provadas geometricamente a partir das definições de círculo unitário ou de triângulo retângulo (embora, para as últimas definições, deva-se tomar cuidado com ângulos que não estejam no intervalo [0, π/2], veja Provas de identidades trigonométricas). Para provas não geométricas usando apenas ferramentas de cálculo, pode-se usar diretamente as equações diferenciais, de uma forma semelhante à da prova acima da identidade de Euler. Também se pode usar a identidade de Euler para expressar todas as funções trigonométricas em termos de exponenciais complexos e usar propriedades da função exponencial.

O cosseno e a secante são funções pares; as outras funções trigonométricas são funções ímpares. Isto é:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(-x)&=-\operatorname {sen} x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x\end{aligned}}}$

Todas as funções trigonométricas são funções periódicas de período 2π. Este é o menor período, exceto para a tangente e a cotangente, que têm π como menor período. Isto significa que, para cada inteiro k, tem-se:

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\operatorname {sen}(x+&2k\pi )&=\operatorname {sen} x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x\end{array}}}$

A identidade de Pitágoras é a expressão do teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. É

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Dividindo por ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ou ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x}$ resulta

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

e

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

As fórmulas de soma e diferença permitem expandir o seno, o cosseno e a tangente de uma soma ou uma diferença de dois ângulos em termos de senos e cossenos e tangentes dos próprios ângulos. Elas podem ser derivadas geometricamente, usando argumentos que datam de Ptolomeu. Também é possível produzi-las algebricamente usando a fórmula de Euler.

Soma

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} \left(x+y\right)&=\operatorname {sen} x\cos y+\cos x\operatorname {sen} y\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}\end{aligned}}}$

Diferença

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} \left(x-y\right)&=\operatorname {sen} x\cos y-\cos x\operatorname {sen} y\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}\end{aligned}}}$

Quando os dois ângulos são iguais, as fórmulas de soma se reduzem a equações mais simples, conhecidas como fórmulas de ângulo duplo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2x&=2\operatorname {sen} x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\operatorname {sen} ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}\end{aligned}}}$

Essas identidades podem ser usadas para derivar as identidades de produto-soma.

Ao definir ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$, todas as funções trigonométricas de ${\displaystyle \theta }$ podem ser expressas como frações racionais de ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{aligned}}}$

Junto com

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt}$

esta é a substituição de meio-ângulo tangente, que reduz o cálculo de integrais e antiderivadas de funções trigonométricas ao de frações racionais.

As derivadas de funções trigonométricas resultam daquelas de seno e cosseno aplicando a regra do quociente. Os valores dados para as antiderivadas na tabela a seguir podem ser verificados diferenciando-as. O número C é uma constante de integração.

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \operatorname {sen} x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\operatorname {sen} x}$	${\displaystyle \operatorname {sen} x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\csc x\right|+C}$