PROFILPELAJAR.COM

Wielomian nieprzywiedlny – wielomian dodatniego stopnia (o współczynnikach z pierścienia całkowitego), który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia (o współczynnikach ze wspomnianego pierścienia)^[1]. Wielomiany, które nie są nieprzywiedlne nazywa się przywiedlnymi.

Dostrzeżenie nieprzywiedlnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden o współczynnikach całkowitych było impulsem do badań nad liczbami algebraicznymi, czyli pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych.

Definicja

Wielomian $\mathrm {f}$ dodatniego stopnia^[a] (jednej zmiennej) o współczynnikach z pierścienia całkowitego $R$ nazywa się nieprzywiedlnym w $R,$ jeżeli nie istnieją wielomiany $\mathrm {g} ,\mathrm {h}$ dodatniego stopnia o współczynnikach z $R,$ dla których $\mathrm {f} =\mathrm {gh}$ ^[2].

Własności i przykłady

Wielomiany stopnia pierwszego są nieprzywiedlne w każdym pierścieniu wprost z definicji^[3].

W przypadku gdy pierścień współczynników wielomianów tworzy ciało (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych), pojęcie rozkładalności/nierozkładalności w pierścieniu wielomianów pokrywa się z pojęciem przywiedlności/nieprzywiedlności w pierścieniu współczynników. W przypadku ogólnym, gdy pierścień współczynników jest pierścieniem całkowitym, pojęcia te są istotnie różne. Przykładowo wielomian $6x+2$ zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych jest nieprzywiedlny w tym pierścieniu (jako wielomian pierwszego stopnia), lecz rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach całkowitych na dwa wielomiany nieodwracalne w tym pierścieniu wielomianów^[b]: $2$ oraz $3x+1$ ^[3].

Wielomian nieprzywiedlny w danym ciele (pierścieniu), może być przywiedlny w jego rozszerzeniu (przywiedlność nie jest zatem własnością niezmienniczą rozszerzeń^[4]), przykładowo wielomian $x^{2}-2$ jest nieprzywiedlny w pierścieniu liczb całkowitych (jak również liczb wymiernych), choć jest przywiedlny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż $x^{2}-2=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}}).$

Jeśli ciało współczynników jest algebraicznie domknięte, wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w tym ciele; na odwrót: jeżeli wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w danym ciele, to jest ono algebraicznie domknięte^[5].

Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Stąd dowolny wielomian co najmniej drugiego stopnia jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych (rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych). W szczególności nieprzywiedlny w ciele liczb rzeczywistych wielomian $x^{2}+1$ zmiennej $x$ jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych, ponieważ $x^{2}+1=(x+i)(x-i)$ ^[3], gdzie jednym z pierwiastków tego wielomianu jest jednostka urojona.

Zobacz też

Uwagi

↑ Warunek ten wyklucza również wielomian zerowy, o którego stopniu zakłada się często, że jest równy $-\infty .$
↑ Jedynymi odwracalnymi wielomianami o współczynnikach całkowitych są wielomiany stałe $1$ oraz $-1$ (każdy z nich jest równy swojej odwrotności).