Wielomian nieprzywiedlny – wielomian dodatniego stopnia (o współczynnikach z pierścienia całkowitego), który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch wielomianów dodatniego stopnia (o współczynnikach ze wspomnianego pierścienia)[1]. Wielomiany, które nie są nieprzywiedlne nazywa się przywiedlnymi.
Dostrzeżenie nieprzywiedlnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden o współczynnikach całkowitych było impulsem do badań nad liczbami algebraicznymi, czyli pierwiastkami wielomianów o współczynnikach wymiernych.
Definicja
Wielomian dodatniego stopnia[a] (jednej zmiennej) o współczynnikach z pierścienia całkowitego nazywa się nieprzywiedlnym w jeżeli nie istnieją wielomiany dodatniego stopnia o współczynnikach z dla których [2].
Własności i przykłady
Wielomiany stopnia pierwszego są nieprzywiedlne w każdym pierścieniu wprost z definicji[3].
W przypadku gdy pierścień współczynników wielomianów tworzy ciało (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych), pojęcie rozkładalności/nierozkładalności w pierścieniu wielomianów pokrywa się z pojęciem przywiedlności/nieprzywiedlności w pierścieniu współczynników. W przypadku ogólnym, gdy pierścień współczynników jest pierścieniem całkowitym, pojęcia te są istotnie różne. Przykładowo wielomian zmiennej o współczynnikach całkowitych jest nieprzywiedlny w tym pierścieniu (jako wielomian pierwszego stopnia), lecz rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach całkowitych na dwa wielomiany nieodwracalne w tym pierścieniu wielomianów[b]: oraz [3].
Wielomian nieprzywiedlny w danym ciele (pierścieniu), może być przywiedlny w jego rozszerzeniu (przywiedlność nie jest zatem własnością niezmienniczą rozszerzeń[4]), przykładowo wielomian jest nieprzywiedlny w pierścieniu liczb całkowitych (jak również liczb wymiernych), choć jest przywiedlny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż
Jeśli ciało współczynników jest algebraicznie domknięte, wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w tym ciele; na odwrót: jeżeli wielomiany pierwszego stopnia są jedynymi wielomianami nieprzywiedlnymi w danym ciele, to jest ono algebraicznie domknięte[5].
Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Stąd dowolny wielomian co najmniej drugiego stopnia jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych (rozkładalny w pierścieniu wielomianów o współczynnikach zespolonych). W szczególności nieprzywiedlny w ciele liczb rzeczywistych wielomian zmiennej jest przywiedlny w ciele liczb zespolonych, ponieważ [3], gdzie jednym z pierwiastków tego wielomianu jest jednostka urojona.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Warunek ten wyklucza również wielomian zerowy, o którego stopniu zakłada się często, że jest równy
- ↑ Jedynymi odwracalnymi wielomianami o współczynnikach całkowitych są wielomiany stałe oraz (każdy z nich jest równy swojej odwrotności).
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa