Praworęczny tenisista, znany był z dobrej gry wolejowej i solidnego forhendu.
Rodney wygrał dwa razy Australasian Championships (obecnie Australian Open). Po raz pierwszy dokonał tego w 1905 roku, w edycji inauguracyjnej z udziałem 17 tenisistów. Pokonał wówczas w półfinale Randolpha Lycetta, a w finale Alberta Curtisa. Pięć lat później znów zwyciężył, w finale z Horace’em Rice’em.
W 1906 i 1911 Rodney wygrał ponadto Australasian Championships w grze podwójnej. Jego partnerami byli Anthony Wilding (1906) i Randolph Lycett (1911). W 1910 roku w parze z Johnem L. Odea oraz w 1914 roku wspólnie z Arthurem O’Harą Woodem przegrywał w finałach gry podwójnej.
W latach 1911–1912 występował w reprezentacji Australazji w Pucharze Davisa i przyczynił się do zdobycia trofeum w 1911 roku (faktycznie mecz o Puchar rozegrano w pierwszych dniach stycznia 1912 roku). Reprezentanci Australazji przystępowali w sezonie 1911 do rozgrywek o Puchar Davisa jako obrońcy tytułu (Puchar zdobyli w 1909, w 1910 rozgrywek nie przeprowadzono) i zgodnie z ówczesnym regulaminem od razu spotykali się w finale z wyłonionym pretendentem; w tym przypadku okazała się nim ekipa Stanów Zjednoczonych, z singlistami Williamem Larnedem i Bealsem Wrightem oraz deblem Wright–Maurice McLoughlin. Australazja obroniła Puchar, swój punkt singlowy zdobył także Heath pokonując Larneda w czterech setach. W rozgrywkach o Puchar Davisa w 1912 roku (tym razem finał rozegrano już w listopadzie w Melbourne) broniących tytułu reprezentantów Australazji pokonali Brytyjczycy, a Heath uległ zarówno Charlesowi Dixonowi, jak i Jamesowi Parkerowi.
